Question

Решить по аналитической ! знайти гострий кут між двома прямими, які проходять через точку с(8; 7) та точки, якими відрізок прямої 3x+2y-18=0, що знаходиться між вісями координат, ділиться на три рівні частини.

Answer 1

Точки пересечения прямой  3х+2у-18=0  с осями координат:
с ОУ:  х=0 ,  у=9  ⇒  А(0,9)
 с ОХ:  у=0,   х=6  ⇒   В(6,0)
Отрезок АВ разделён на 3 равные части двумя точками  М и N .
Точка М делит отрезок АВ в отношении $\lambda _1=\frac{1}{2}$  ,считая от точки А к В .
Точка N делит отрезок АВ в отношении  $\lambda_2=\frac{2}{1}=2$  , считая от точки А .
Найдём координаты точек М и N .

$x_{M}= \frac{x_{A}+\lambda _1\cdot x_{B}}{1+\lambda _1} = \frac{0+\frac{1}{2}\cdot 6}{1+\frac{1}{2}} =2\; ,\; \; y_{M}= \frac{y_{A}+\lambda _1\cdot y_{B}}{1+\lambda _1} = \frac{9+\frac{1}{2}\cdot 0}{1+\frac{1}{2}} =6\\\\M(2,6)\\\\x_{N}= \frac{x_{A}+\lambda _2\cdot x_{B}}{1+\lambda _2}= \frac{0+2\cdot 6}{1+2}=4\; ,\; \; y_{N}= \frac{y_{A}+\lambda _2\cdot y_{B}}{1+\Lambda _2} =\frac{9+2\cdot 0}{1+2}=3 \\\\N(4,3)$

Запишем уравнения СМ и СN .

$CM:\; \; \frac{x-2}{8-2} = \frac{y-6}{7-6}\; ;\; \; \frac{x-2}{6} =\frac{y-6}{1}\; \; \to \; \; \vec{s_1} =(6,1)\\\\CN:\; \; \frac{x-4}{8-4} =\frac{y-3}{7-3}\; ;\; \; \frac{x-4}{4}= \frac{y-3}{4}\; ;\; \; \frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{1} \; \to \; \vec{s_2}=(1,1) \\\\cos(CM,CN)= cos\varphi =\frac{6\cdot 1+1\cdot 1}{\sqrt{36+1}\cdot \sqrt{1+1}} = \frac{7}{\sqrt{37}\cdot \sqrt2}= \frac{7}{\sqrt{74}}\\\\\varphi =arccos \frac{7}{\sqrt{74}}$