Три стрелка попадают в мишень с вероятностями 0,9; 0,2; 0,1. Обозначим р₁=0,9, тогда q₁=1-p₁=1-0,9=0,1- вероятность промаха первого стрелка. р₂=0,2, тогда q₂=1-p₂=1-0,2=0,8- вероятность промаха второго стрелка. р₃=0,1, тогда q₃=1-p₃=1-0,1=0,9- вероятность промаха третьего стрелка.
A₁ – только 2 - ой стрелок попал в мишень р(А₁)=q₁p₂q₃=0,1·0,2·0,9=0,018 A₂ – только 3 - ий стрелок не попал в мишень p(A₂)=q₁q₂p₃=0,1·0,8·0,1=0,008 A₃ – только 2 - ый и 1- ый стрелки попали в мишень p(A₃)=p₁p₂q₃=0,9·0,2·0,9=0,162 A₄ – только 2 - ой и 3 - ий стрелки не попали в мишень p(A₄)=p₁q₂q₃=0,9·0,8·0,9=0,648 A₅ – 2 -ой стрелок попал в мишень, а 1 -ый не попал и так далее p(A₅)=q₁p₂q₃+q₁p₂p₃= A₆– все стрелки попали в мишень p(A₆)=p₁p₂p₃= A₇– хотя бы один стрелок не попал в мишень p(A₇)=q₁p₂p₃+q₁p₂q₃+p₁q₂p₃+p₁q₂q₃+p₁p₂q₃+q₁q₂p₃+q₁q₂q₃= или p(A₇)=1-p(A₆)=1-p₁p₂p₃= A₈- мишень поражена p(A₈)=1-q₁q₂q₃=
Пусть f(k) - разность между количеством красных и черных шаров среди первых k левых шаров. Тогда f(1)=0-1=-1, т.к. первый шар черный и f(2013+2012)=2013-2012=1 т.к. последний шар тоже черный. Т.к. f(k+1)=f(k)±1, то f(k) пробегает все целые значения между любыми двумя своими значениями, а значит при каком-то k функция f(k) примет значение 0 (т.к. при первом и предпоследнем k она имеет значения разных знаков: -1 и 1). А это и значит, что при каком-то k количество красных и черных будет одинаковым.
P.S. Можно сказать, что здесь мы применили дискретный аналог теоремы о том, что непрерывная функция имеет корень на интервале, если на его концах у функции разные знаки.
