Сначала заметим, что сумма первых 
подряд идущих нечетных чисел равна 
. Это можно объяснить геометрической картинкой с увеличивающимися квадратами или с арифметической прогрессии, в которой 
и 
:
Дальше можно рассмотреть два случая: когда четное и когда - нечетное.
Если нечетное, то искомое число равно 
. При этом должно выполниться следующее:
Все бы хорошо, но только ровно 
нечетных чисел выбрать довольно проблематично.
Так что лучше перейдем ко второму случаю, когда искомое число равно 
. Уравнение составляем и решаем аналогично:
Считается, что 
- не натуральное число. Поэтому мы возьмем только первый корень (тем более, в условии сказано "найдите натуральное числО). И сделаем проверку:
Девятая часть суммы нечетных чисел от 
до 
включительно равна:
Мы как раз получили 
.
ответом тоже является число 
.
Задача решена!
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
sin²α + cos² α = 1
cos² a = 1 - sin² α
cos ² α = 1 - 16/25 = 9/25
cos α = 3/5 или cos α = -3/5
cos α = -3/5, так как по условию угол лежит во второй четверти, где косинус отрицателен.
Теперь нетрудно найти и тангенс с котангенсом.
tg α = sin α / cos α = 4/5 : (-3/5) = -4/3
ctg α = 1/ tg α = -3/4