Question

Найти объем и площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды,у которой высота равна √3(корень из 3),а плоский угол при вершине равен 30° (30 градусов).

Answer 1

Обозначим ребро основания а, боковые ребра b.
По теореме косинусов в ΔDSC:
a² = b² + b² - 2·b·b·cos30° = 2b² - 2b²·√3/2 = b²(2 - √3)
b² = a²/(2 - √3) = a² · (2 + √3)/(4 - 3) = a²(2 + √3)

BD = a√2 как диагональ квадрата
BO = a√2/2
ΔSOD: по теореме Пифагора:
b² = 3 + a²/2
a²(2 + √3) = 3 + a²/2
a² (2 + √3 - 1/2) = 3
a²(3 + 2√3)/2 = 3
a² = 6/(3 + 2√3) = 6(2√3 - 3)/3 = 2(2√3 - 3)
V = 1/3 · a² · SO = 1/3 · 2(2√3 - 3) · √3 = 1/3 · (12 - 6√3) = 4 - 2√3
Площадь боковой поверхности - сумма площадей 4-х равных треугольников:
Sбок = 4 · 1/2 · b² · sin30° = b² =
= a²(2 + √3) = 2(2√3 - 3) (2 + √3) = 2(4√3 + 6 - 6 - 3√3) = 2√3