Question

Дана функция ф(x, y, z)=f(x/z,y/z)*z^3 нужно найти первые производные по x, y, z. например: ф'x=(f'x (x/z)'+f'y(y/z)')z^3=f'x(1/z) как то так остальные по y и z не могу найти

Answer 1

$\displaystyle\Phi(x,y,z)=F\left(\frac xz,\frac yz\right)z^3\\ \Phi'_x(x,y,z)=F'_1\left(\frac xz,\frac yz\right)z^3\cdot\left(\frac xz\right)'_x=F'_1\left(\frac xz,\frac yz\right)z^2\\ \Phi'_y(x,y,z)=F'_2\left(\frac xz,\frac yz\right)z^3\cdot\left(\frac yz\right)'_y=F'_2\left(\frac xz,\frac yz\right)z^2$
$\displaystyle\Phi'_z(x,y,z)=F'_1\left(\frac xz,\frac yz\right)z^3\cdot\left(\frac xz\right)'_z+\\+F'_2\left(\frac xz,\frac yz\right)z^3\cdot\left(\frac yz\right)'_z+F\left(\frac xz,\frac yz\right)\cdot(z^3)'_z=\\=3z^2F\left(\frac xz,\frac yz\right)-xzF'_1\left(\frac xz,\frac yz\right)-yzF'_2\left(\frac xz,\frac yz\right)$

$F'_1,\; F'_2$ - производные функции F по первому и второму аргументу соответственно.