Question

Решить дифференциальное уравнение! y''-6y'+9y=(x^2)-x+3

Answer 1

$y''-6y'+9y=x^2-x+3\\\\1)\; \; k^2-6k+9=0\; ,\; \; (k-3)^2=0\; \; ,k_1=k_2=3\\\\y_{obsh.odn.}=e^{3x}(C_1+C_2x)\\\\2)\; \; \; f(x)=(x^2-x+3)e^{0x}\; \; , \; \; 0\ne 3\; \; \to \\\\y_{chastn.}=Ax^2+Bx+C$

$y'=2Ax+B\\\\y''=2A\\------------------------------\\y''-6y'+9y=2A-6(2Ax+B)+9(Ax^2+Bx+C)=x^2-x+3\\\\x^2\; |\; 9A=1\; ,\; \; A= \frac{1}{9}\\\\x\; \; |\; -12A+9B=-1\; ,\; \; 9B=-1+12A=-1+ \frac{4}{3}=\frac{1}{3}\; ,\; B=\frac{1}{27}\\\\x^0\; |\; 2A-6B+9C=3\; ,\; 9C=3-2A+6B=3-\frac{2}{9}+\frac{6}{27}=3$

$C=\frac{1}{3}\\\\y_{chastn.}= \frac{1}{9}\, x^2+ \frac{1}{27}\, x+\frac{1}{3} \\\\y_{obsh.ntodn.}=e^{3x}\, (C_1+C_2x)+ \frac{x^2}{9}+ \frac{x}{27} +\frac{1}{3}$