Question

Ln(4x-2)*sqrt(x^2-4x+4a-a^2)=0 при каких значениях а уравнение имеет один корень на промежутке [0; 2]?

Answer 1

Уравнение равносильно совокупности уравнений:
4x-2=1 или x^2-4x+4a-a^2=0
уравнение определено на множестве:
x>0,5 и x^2-4x+4a-a^2>=0 
На [0,2] уравнение всегда имеет корень x=0.75
Для того, чтобы этот корень был единственным нужно чтобы:
1. уравнение  x^2-4x+4a-a^2>=0  не имело решений вообще (отрицательный дискриминант)
2. имело единственный корень совпадающий с 0,75
3. имело один корень совпадающий с 0,75, а второй вне отрезка  [0,2]
4. имело два корня и оба вне отрезка [0,2]
Случай 1:  невозможен так как D=4(a-2)^2 число неотрицательное
Случай 2: D=0 значит (x-2)^2=0 откуда корень x=2 - второй корень в отрезке [0,2] следовательно a не равно 2.
Случай 3: решая уравнение x^2-4x+4a-a^2=0 находим корни
x1=a, x2=6-a, Если a=0.75 то первый корень совпадет с корнем 0,75, а второй 6-0,75=5,25 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно
Если x2=6-a=0,75, то а=6,75, следовательно первый корень x1=a=6.75 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно. Следовательно оба этих значения подходят.
Случай 4: должно выполняться x1<0.5 и x2>2 или наоборот x1>0.5 и x2<2. Рассмотрим их отдельно.
Если x1<0.5 и x2>2  то  a<0.5 и 6-a>2  откуда  a<0.5 и 4>a получаем а<0.5
Если x1>0.5 и x2<2 то a>0.5 и 6-a<2 откуда a>0.5 и а>4. получаем а>4
Теперь собираем все полученные значения:
a∈(-∞,0.5)∪{0.75}∪(4,∞)