Question

Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной гиперболой 9х^2-25y^2=225, прямой 3х-10у=0 и положительной полуосью ох

Answer 1

Тело, полученное вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной гиперболой 9х²-25y²=225, прямой 3х-10у=0 и положительной полуосью Ох, представляет собой конус с выемкой в основании однополостного гиперболоида вращения .
Находим координаты крайних точек.
Подставляем переменную у в уравнение гиперболы из уравнения прямой.
Прямая 3х-10у=0,  у = 0,3х.
Гипербола 9х²-25*0,09х²=225,
х²(9 -  2,25) = 225,
6,75х² = 225,
х = √(100/3) = 10/√3. Отрицательные значения в соответствии с заданием отбрасываем.
Находим координаты вершины гиперболы, для этого преобразуем заданное уравнение гиперболы в каноническое:
Гипербола 9х²-25y²=225. Разделим обе части на  225.
(х²/25) - (у²/9) = 1.
Отсюда имеем а = 5. Координаты вершины (5;0).
Так как прямая 3х-10у=0 проходит через начало координат, то вершина конуса имеет координаты (0;0).
Радиус основания конуса равен ординате точки пересечения гиперболы и прямой: у = 0,3*(10/√3) = √3.
Площадь основания конуса So = πR² = π(√3)² = 3π.
Объём конуса V = (1/3)SoH = (1/3)*3π*(10/√3) = 10π/√3 ≈  18,13799.
Объём гиперболической выемки равен интегралу:
$V= \pi \int\limits^{ \frac{10}{ \sqrt{3} }}_5 { (\frac{9x^2}{25}-9) } \, dx = \frac{10 \pi }{3} (9-5 \sqrt{3} )$ ≈ 3,5578.
Объём тела равен (10π/√3) - ((10π(9-5√3)/3) ≈ 18,13799 - 3,5578 ≈  14,58019 куб.ед.