Question

Решить уравнения 2x³ - 5x² +6x - 2 = 0 и 6x³ - 3x² - 2x + 1 = 0, если известно, что они имеют общий корень

Answer 1

Умножив первое уравнение на 3 и вычтя второе уравнение получаем

$12x^2-20x+7=0$

$D=b^2-4ac=(-20)^2-4\cdot 12\cdot 7=64$
Поскольку D>0, то квадратное уравнение имеет 2 корня

$x_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{20+8}{2\cdot 12} = \frac{7}{6} \\ \\ x_2=\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{20-8}{2\cdot 12} =0.5$

Так как по условию существует общий корень этих двух уравнений, то  он будет корнем и последнего уравнения.

Сделав проверку, имеем что х=1/2 является общим корнем двух данных уравнений.

Разделив каждое из уравнения на (2х-1), получим уравнения $x^2-2x+2=0$ и $3x^2-1=0$
Первое уравнение не имеет решений, так как $D=(-2)^2-4\cdot1\cdot 2\ \textless \ 0$, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Для второго уравнения корнями есть $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ответ:  для первого x=0.5 и второго уравнения $x_1=0.5$, $x_{2,3}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Answer 2

Если они имеют общий корень, то можно их приравнять.
Но сначала умножим 1 уравнение на 3. Его корень от этого не изменится.
6x^3 - 15x^2 + 18x - 6 = 6x^3 - 3x^2 - 2x + 1
12x^2  - 20x + 7 = 0
Это уравнение имеет тот же корень, что и два исходных уравнения.
D/4 = 10^2 - 12*7 = 100 - 84 = 16 = 4^2
x1 = (10 - 4)/12 = 6/12 = 1/2
x2 = (10 + 4)/12 = 14/12 = 7/6
Проверяем исходные уравнения:
1) x = 1/2;
2/8 - 5/4 + 6/2 - 2 = 1/4 - 5/4 + 3 - 2 = -1 + 1 = 0
6/8 - 3/4 - 2/2 + 1 = 3/4 - 3/4 - 1 + 1 = 0
2) x = 7/6
2*343/216 - 5*49/36 + 6*7/6 - 2 = 343/108 - 245/36 + 7 - 2 ≈ 1,37 ≠ 0
Значит, общий корень: x1 = 1/2. Выносим его за скобки.
2x^3 - x^2 - 4x^2 + 2x + 4x - 2 = (2x - 1)(x^2 - 2x + 2) = 0
Уравнение x^2 - 2x + 2 = 0 действительных корней не имеет
6x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = (2x - 1)(3x^2 - 1) = 0
3x^2 - 1 = 0; x^2 = 1/3
x2 = -1/√3; x3 = 1/√3

ответ: 1 уравнение имеет 1 корень x = 1/2.
2 уравнение имеет 3 корня x1 = 1/2; x2 = -1/√3; x3 = 1/√3