Question

Найдите площадь фигуры , ограниченной графиками заданных функций : y=x^2-4x-4 , y=-x , и надо нарисовать график функций

Answer 1

y = x² - 4x - 4 = x² - 4x + 4 - 8 = (x-2)² - 8
Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх, т.к. a=1>0
(2;-8) - координаты вершины параболы.

y=-x - прямая, которая проходит через точку начала координат

Найдем ограниченные линии(точки пересечения графиков)
$x^2-4x-4=-x\\ x^2-3x-4=0$
По т. Виета:
$x_1=-1\\ x_2=4$

Поскольку график функции y=-x расположен выше чем y=(x-2)²-8, то площадь фигуры будем искать таким образом

$\displaystyle S= \int\limits^4_{-1} {(-x-x^2+4x+4)} \, dx =\int\limits^4_{-1} {(3x-x^2+4)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} +4x\bigg)\bigg|^4_{-1}=\frac{3\cdot4^2}{2} - \frac{4^3}{3} +4\cdot4-\frac{3}{2} + \frac{1}{3} -4= \frac{125}{6}$