Question

Диагонали выпуклого четырехугольника abcd пересекаются в точке f. известно, что ad = 30 м, cf = 16 м, а площади треугольников afb, bfc и cfd равны соответственно 40 м2, 80 м2 и 120 м2. какие значения может принимать величина угла dac?

Answer 1

Интересная задача, возможно есть решения попроще, но попробуем так:
1. Обозначим искомый угол DAC как b (естественно лучше использовать греческие буквы, я для простоты возьму латинские), а угол AFC = BFC как a. Соответсвенно углы AFB и CFD будут равны 180 - a (буду использовать для измерения углов градусы, но можно и в радианы перевести, конечно).
2. Распишем известные нам площади треугольников через две стороны и синус угла между ними. Сразу все не будем, по порядку:
Safb = 40 = 1/2 * BF * AF * sin (180 - a)
Вспомним, что sin (180 - a) равен sin a: 
Safb = 40 = 1/2 * BF * AF * sin a
Теперь выпишем для следующего треугольника:
Sbfc = 80 = 1/2 * BF * 16 * sin a
А теперь мы видим, что эти выражения очень похожи. В них три неизвестных, но если одно выражение поделить на другое, то два из неизвестных уйдут:
80/40 = (1/2 * BF * 16 * sin a) / (1/2 * BF * AF * sin a)
2 = 16 / AF
AF = 8
Мы нашли AF и соответственно можем утверждать, что вся диагональ AC равна: AC = AF + FC = 8 + 16 = 24
3. Теперь рассмотрим ещё два треугольника и тоже применим для них такое выражение для площади:
Safd = 1/2 * AF * AD * sin b = 1/2 * 8 * 30 * sin b = 120 sin b
Второй треугольник ACD. Заметим, что он состоит из треугольников AFD и CFD, иными словами:
Sacd = Safd + Scfd = Safd + 120
А теперь запишем его площадь через синус, но вместо площади подставим предыдущую строчку:
Sacd = Safd + 120 = 1/2 * AC * AD * sin b
Safd + 120 = 1/2 * 24 * 30 * sin b = 360 sin b
Подставляя полученное чуть раньше Safd = 120 sin b, получаем:
120 sin b + 120 = 360 sin b
120 = 240 sin b
sin b = 1/2
Как мы знаем, синус 1/2 бывает у углов в 30 или 150 градусов, или, если выражаться корректнее и в радианах, ($\pi$/6 + 2*$\pi$*N) и (5$\pi$/6 + 2*$\pi$*N), где N - целое