Question

Доказать, что при любом натуральном n выражение (n^3/6)+(n^2/2)+(n/3) - натуральное

Answer 1

$\frac{n^3}{6}+ \frac{n^2}{2} + \frac{n}{3}$

Выражение можно переписать в следующем виде:      

$\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Так как среди любых трех последовательных натуральных чисел по крайней мере одно делится на 2 и одно на 3, то при любых $n \in N$ число $n(n+1)(n+2)$ делится на 2*3=6, следовательно, данное выражение - натуральное

Answer 2

(n^3/6)+(n^2/2)+(n/3)= (n^3/6)+(3n^2/6)+(2n/6) = (n^3+3n^2+2n)/6 = n*(n^2+3n+2)/6 = n(n+1)(n+2)/6
n^2+3n+2=n^2+n+2n+2=n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)
при перемножении трех натуральных подряд чисел одно из низ обязательно четное то есть делится на 2 и одно из них делится на 3 а их произведение соответственно на 6 чтд то есть число n(n+1)(n+2) нацело делится на 6 и тем самым так как n натуральные то и полученное число натуральное так натуральное делится на натурольное число 6 нацело