Question

Найдите все значения параметра a,при каждом из которых уравнение log5-x(a-x+8)=2 имеет хотя ты один корень,принадлежащий промежутку [2; 5]

Answer 1

$\log_{5-x}(a-x+8)=2$

Вычислим ОДЗ уравнения 
$5-x\ \textgreater \ 0$    откуда   $x \ \textless \ 5$
$5-x \neq 1$    откуда   $x \ne 4$
$a-x+8\ \textgreater \ 0$

Упростим уравнение

$\log_{5-x}(a-x+8)=\log_{5-x}(5-x)^2\\ \\ (a-x+8)=(5-x)^2\\ \\a-x+8=25-10x+x^2\\ \\ x^2-9x+17-a=0$

Вычислим дискриминант 

$D=(-9)^2-4\cdot 1\cdot(17-a)=81-68+4a=13+4a$

$x_{1,2}= \dfrac{9\pm \sqrt{13+4a} }{2}$

Найдем параметры, при которых уравнение имеет хотя бы один корень , принадлежащий промежутку [2;5]

$2 \leq \dfrac{9\pm \sqrt{13+4a} }{2} \ \textless \ 5\\ \\ \\ 4 \leq 9\pm \sqrt{13+4a} \ \textless \ 10\,\,\, |-9\\ \\ -5 \leq \pm \sqrt{13+4a} \ \textless \ 1$

Рассмотрим отдельно неравенства

$\sqrt{13+4a} \geq -5$

В правой части уравнения - отрицательное число, а левая часть неравенства принимает неотрицательные значения, следовательно неравенство имеет решение, если $13+4a \geq 0$  откуда  $a \geq - \frac{13}{4}$

$\sqrt{13+4a} \leq 1$
Возведем обе части в квадрат

$\displaystyle \left \{ {{13+4a \leq 1} \atop {13+4a \geq 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \leq -3} \atop {a \geq - \frac{13}{4} }} \right. \Rightarrow - \frac{13}{4} \leq a \leq -3$

Общее решение для неравенства $-5 \leq \sqrt{13+4a} \ \textless \ 1$:  $[- \frac{13}{4} ;-3]$

Теперь найдем решение неравенства $-5 \leq - \sqrt{13+4a} \ \textless \ 1$

Рассмотрим отдельно неравенства

$-5 \leq - \sqrt{13+4a}$

Возведем обе части неравенства в квадрат

$\displaystyle \left \{ {{13+4a \leq 25} \atop {13+4a \geq 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \leq 3} \atop {a \geq - \frac{13}{4} }} \right. \Rightarrow - \frac{13}{4} \leq a \leq 3$

$- \sqrt{13+4a} \leq 1$

Левая часть неравенства принимает отрицательные значения, а правая - неотрицательное значение, значит неравенство имеет место, когда $13+4a \geq 0$ откуда   $a \geq - \frac{13}{4}$

Общее решение для этого случая :  $a \in [- \frac{13}{4} ;3]$

рассмотрим случай, когда x=4, то есть

$\dfrac{9\pm \sqrt{13+4a} }{2} =4\,\, |\cdot 2\\ 9\pm \sqrt{13+4a} =8\\ \\ \pm \sqrt{13+4a}=-1\\ \\ - \sqrt{13+4a} =-1\\ \\ 13+4a=1\\ a=-3$

ответ: $a \in \bigg[-\dfrac{13}{4} ;-3\bigg)\cup\bigg(-3;3\bigg]$