Question

Сколько разных делителей (не обязательно простых) у числа 57 000 000 000?

Answer 1

57 000 000 000 = 57 * 10^9 = 3 * 19 * 2^9 * 5^9

Все делители этого числа имеют вид 2^a * 3^b * 5^c * 19^d, где b и d выбираются из двух значений 0 или 1, a и c - из 10 значений от 0 до 9. Так как все четыре показателя можно выбирать независимо, то по правилу умножения получается 2^2 * 10^2 = 400 возможных комбинаций.

ответ. 400

Answer 2

Представим число данное в виде $57000000000=3 \cdot 19 \cdot 2^9 \cdot 5^9$.
Есть одна теорема. Формулировка: Пусть разложение натуральных чисел n на простые множители имеет вид $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdot ...\cdot p_k^{ \alpha _k}$, тогда число всех делителей равно $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdot...\cdot( \alpha _k+1)$.

В нашем случае $n=3^1\cdot 19^1\cdot2^9\cdot5^9$. Используя сформулированную выше теорему, имеем $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+9)\cdot(1+9)=2\cdot2\cdot10\cdot10=400$

ответ