Question

Исследовать функцию с первой производной: f(x)=x^4-18x^2+4? ?

Answer 1

ООФ: $x\in R$
Найдем производную: 
$y=x^4-18x^2+4\\ y'=4x^3-36x$
Найдем критические точки:
$4x^3-36x=0\\ 4x(x^2-9)=0\\ 4x(x-3)(x+3)=0\\ x_1 = 0; x_2=3; x_3=-3$
Определяем знак производной на получившихся промежутках. Изображение прикрепила. 
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума (в нашем случае это x=0), а если с «–» на «+», то имеем точку минимума (в нашем случае x=-3; x=3).
На промежутке $x \in (-\infty;-3)\cup(0;3)$ функция убывает
На промежутке $x \in (-3;0)\cup(3;+\infty)$ функция возрастает
График прикрепила вторым изображением

Answer 2

f(x)=x^4-18x^2+4
D(f)∈R
f(-x)=x^4-18x^2+4 четная
(0;4) точка пересечения с осью оу
f`(x)=4x³-36x=4x(x²-9)=4x(x-3)(x+3)
4x(x-3)(x+3)=0
x=0  x=3  x=-3
             _                       +                      _                   +
(-3)(0)(3)
убыв           min  возр             max  убыв            min  возр
ymin=y(-3)=y(3)=81-162+4=-77
ymax=y(0)=4
f``(x)=12x²-36=12(x²-3)=12(x-√3)(x+√3)
129x-√3)(x+√3)=0
x=√3  x=-√3
             +                   _                 +
(-√3)(√3)
вогн вниз            выпук вверх         вогн вниз
y(-√3)=y(√3)=9-54+4=-41
(-√3;-41);(√3;-41) точки перегиба