Question

Двое игроков по очереди забирают камешки из большой кучи камней. первый забирает один камешек, а далее каждый игрок берёт либо на камешек больше, либо на камешек меньше, чем соперник перед ним, но не менее одного камешка. проигрывает тот, кто не может сделать ход. кто выиграет при оптимальной игре, если игроки не могут оценить размер кучки, пока в ней больше десяти камешков?

Answer 1

Первый игрок всегда может выиграть. Первым ходом он берет 1 камешек, тогда второй вынужден брать 2 камешка (т.к. не брать вообще камешки он не может по условию), После этого первый опять берет 1 камешек, и 2-ой опять вынужден брать 2, и т.д. Они разбирают кучу по 3 камешка:
1,2,1,2,... Так будет продолжаться до тех пор пока первый раз в куче не станет меньше или равно 10 камешков. С этого момента игроки знают, сколько камешков осталось в куче и могут планировать свои ходы. В зависимости от начального количества камней в куче, перед очередным ходом первого игрока в куче может оказаться 10, 9 или 8 камешков.
1)Если перед очередным ходом первого осталось 10 камешков, то он продолжает игру как и раньше, т.е. делаются ходы: 1,2,1,2,1,2,1. Последний ход сделал первый и забрал последний камень. Т.е. второму хода нет - выиграл первый.
2) Если перед очередным ходом первого в куче осталось 9 камней, то ходы делают так: 1,2,1,2,3. Т.е. последним ходом первый забирает 3 последних камня, и второму нет хода. Т,е. опять первый выиграл.
3) Если осталось 8 камней, то игра идет как и раньше: 1,2,1,2,1. После этого в куче остался только 1 камень. Но сейчас ход второго, и он не может взять 1 камень, т.к. должен брать 2 камня. Значит опять второй игрок не может сделать ход и проигрывает.