Question

Точка м делит гипотенузу ас прямоугольного треугольника авс в отношении ам: мс=2: 3. найдите разложение вектора вм по векторам ва и вс и длину вектора вм, если ав=10 см, св=5 см.

Answer 1

Из условия $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{2}{3}$, тогда $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

По правилу треугольника $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$

Далее снова по правилу треугольника ABM:

$\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}-\dfrac{7}{5}\overrightarrow{BA}$

Поскольку векторы BA и BC перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, следовательно,

$\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}-\dfrac{7}{5}\overrightarrow{BA}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{25}BC^2+\dfrac{49}{25}BA^2}=\sqrt{4+196}=10\sqrt{2}~_{\sf CM}$