А,в и с попарно взаимно простые натуральные числа. найти все возможные значения (а+в)*(а+с)*(в+с)/(а*в*с), если известно, что это число целое . буду признателен, если найдет еще тройку чисел, кроме 1,2,3.
Натуральные числа взаимно простые, если они не имеют никаких общих делителей, кроме 1.
Обозначим N=(A+B)*(A+C)*(B+C)/(A*B*C), по условию это целое число. Перепишем (A+B)*(A+C)*(B+C) = N*A*B*C Если среди натуральных чисел А, В, С есть одинаковые, то можно принять, что А=В (нет никакой разницы, какую пару чисел считать равной). Но тогда наибольший общий делитель чисел А и В равен числу А, и равен 1. Т.е. А=В=1. Подставив эти значения в выражение (A+B)*(A+C)*(B+C) = N*A*B*C, получим: 2*(С+1)*(С+1) = N*C. Отсюда следует, что 2 делится на С; и следовательно, С=1 или С=2. Таким образом, имеем две тройки чисел: А=1, В=1, С=1 и А=1, В=1, С=2
Теперь рассматриваем случай, когда числа А, В и С попарно различны. Для однозначности будем считать, что А < B < C. Если два числа взаимно простые, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому из нашего выражения (A+B)*(A+C)*(B+C)=N*A*B*C следует, что А+В=M*С и А+С=К*В, где М и К - натуральные числа. Т.к. А+B < 2*C (см. выше, где мы приняли, что А <B < C), то М*С < 2*C, или M < 2, т.е. М=1, и следовательно, А+В=М*С=1*С=С. Выразим С из А+С=К*В и подставим в А+В=С: С=К*В-А А+В = К*В - А, откуда 2*А = (К-1)*В Т.к. А и В взаимно простые, то 2 делится на В. Учитывая, что 1 ≤ A < B, получаем, что B>1 и, значит, В=2. Тогда А=1 и С=3. Итак, ещё одна тройка чисел А=1, В=2, С=3
Добрые дела – те поступки, совершая которые человек другим. Ежедневно мы совершаем какие-либо действия и поступки, большую часть из них мы делаем для себя, стремясь извлечь выгоду, но такого быть не должно. Все-таки каждый из нас должен стремиться делать добрые дела. Когда мы другим, мы одновременно делаем хорошо и для себя, ведь хорошие дела возвращаются.
Это доказывают и литературные произведения. В романе Пушкина «Капитанская дочка» Гринев подарил свой тулуп мужичку, который найти ему дорогу. Им оказался сам Пугачев, он запомнил этот поступок Гринева, а после отблагодарил. Пугачев возлюбленную Гринева из плена Швабрина. Этот поступок очень главному герою, если бы он его не совершил, то его судьба могла сложиться иначе.
В произведении Шолохова «Судьба человека» Андрей Соколов все тяготы войны и плена, он в один день потерял всю свою семью, но это не сделало его злым и черствым, его сердце сохранило доброту. Он стал отцом для мальчика-сироты, у которого, также как и у самого Соколова, война забрала все. Этот маленький мальчик, не дал душе солдата очерстветь, благодаря нему у Соколова появился смысл жизни. Этот добрый поступок заслуживает огромного уважения.
Каждый такой поступок делает мир добрее. Будьте добрее к миру, и он будет добрее к вам!
Добрые дела – те поступки, совершая которые человек другим. Ежедневно мы совершаем какие-либо действия и поступки, большую часть из них мы делаем для себя, стремясь извлечь выгоду, но такого быть не должно. Все-таки каждый из нас должен стремиться делать добрые дела. Когда мы другим, мы одновременно делаем хорошо и для себя, ведь хорошие дела возвращаются.
Это доказывают и литературные произведения. В романе Пушкина «Капитанская дочка» Гринев подарил свой тулуп мужичку, который найти ему дорогу. Им оказался сам Пугачев, он запомнил этот поступок Гринева, а после отблагодарил. Пугачев возлюбленную Гринева из плена Швабрина. Этот поступок очень главному герою, если бы он его не совершил, то его судьба могла сложиться иначе.
В произведении Шолохова «Судьба человека» Андрей Соколов все тяготы войны и плена, он в один день потерял всю свою семью, но это не сделало его злым и черствым, его сердце сохранило доброту. Он стал отцом для мальчика-сироты, у которого, также как и у самого Соколова, война забрала все. Этот маленький мальчик, не дал душе солдата очерстветь, благодаря нему у Соколова появился смысл жизни. Этот добрый поступок заслуживает огромного уважения.
Каждый такой поступок делает мир добрее. Будьте добрее к миру, и он будет добрее к вам!
Обозначим N=(A+B)*(A+C)*(B+C)/(A*B*C), по условию это целое число.
Перепишем (A+B)*(A+C)*(B+C) = N*A*B*C
Если среди натуральных чисел А, В, С есть одинаковые, то можно принять, что А=В (нет никакой разницы, какую пару чисел считать равной). Но тогда наибольший общий делитель чисел А и В равен числу А, и равен 1. Т.е. А=В=1.
Подставив эти значения в выражение (A+B)*(A+C)*(B+C) = N*A*B*C, получим: 2*(С+1)*(С+1) = N*C. Отсюда следует, что 2 делится на С; и следовательно, С=1 или С=2.
Таким образом, имеем две тройки чисел: А=1, В=1, С=1 и А=1, В=1, С=2
Теперь рассматриваем случай, когда числа А, В и С попарно различны. Для однозначности будем считать, что А < B < C.
Если два числа взаимно простые, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому из нашего выражения (A+B)*(A+C)*(B+C)=N*A*B*C следует, что А+В=M*С и А+С=К*В, где М и К - натуральные числа.
Т.к. А+B < 2*C (см. выше, где мы приняли, что А <B < C), то М*С < 2*C, или M < 2, т.е. М=1, и следовательно, А+В=М*С=1*С=С.
Выразим С из А+С=К*В и подставим в А+В=С:
С=К*В-А
А+В = К*В - А, откуда 2*А = (К-1)*В
Т.к. А и В взаимно простые, то 2 делится на В.
Учитывая, что 1 ≤ A < B, получаем, что B>1 и, значит, В=2. Тогда А=1 и С=3.
Итак, ещё одна тройка чисел А=1, В=2, С=3
Итого три тройки чисел:
1,1,1
1,1,2
1,2,3