ответ: 2^10 -1 =1023
Пошаговое объяснение:
Число вариантов включить одну лампочку составляет:
C (1 ,10)
Две лампочки :
C (2 , 10)
Три лампочки :
С(3 , 10)
k лампочек :
C(k,10)
И так далее от k=1 до k=10.
Таким образом общее число
C (1 , 10) +C (2 ,10) +C(10,10)
Запишем эту сумму так :
(С( 0,10) +C (2,10) +C (3,10) +C(10;10) ) -1
Из за того что C (0 ,10)=1
Cумма в скобках соответствует разложению в бином Ньютона выражения :
(a+b)^10
где : a=b=1 ( поскольку 1^n =1)
То есть :
С( 0,10) +C (2,10) +C (3,10) +C(10;10) =2^10
Таким образом общее число осветить коридор :
N= 2^10 -1= 1024-1 =1023
Метод математической индукции)
Пусть количество осветить коридор k лампочками равно N.
Найдем число осветить коридор k+1 лампочками.
Очевидно , что при рассмотрении включенной k+1 лампочки , число включить другие лампочки равно N. Но так же сохраняются те же с невключенной k+1 лампочкой.
И наконец остается особенный случай когда включена только k+1 лампочка.
Таким образом число осветить коридор k+1 лампочками равно : N'=2*N+1
Учитывая , что осветить коридор 1 лампочкой только То число осветить двумя лампочками равно : 2*1+1=3= 2^2-1
Тремя лампочками :
(2^2 -1)*2+1=2^3-2+1=2^3-1
Четыремя :
2*(2^3-1)+1=2^4-1
Продолжая так 10 раз получаем что число осветить коридор 10 лампочками равно :
N= 2^10 -1 = 1023
