Question

Решить диф. уравнение: x^3*y'+x^2*y-y^2=2x^4

Answer 1

Уравнение Риккати. 
$x^3y'+x^2y-y^2=2x^4$
Разделим на $x^3$
$y' + \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^3} = 2x$
Ищем частное решение. Пусть $y_1 = cx^2$, подставляем в уравнение:
$(cx^2)' + \frac{cx^2}{x} + \frac{(cx^2)^2}{x^3} = 2x$
$2cx + cx - c^2x - 2x = 0$
$c^2 - 3c + 2 = 0$
$D = 9 - 8 = 1$
$\sqrt{D} =1$
$c_1 = 1$
$y_1 = c_1x^2 = x^2$
Что ж мы получили частное решение, теперь нужно найти общее:
$y = y_1 + v = x^2 + v$
Снова подставляем в уравнение:
$(x^2 + v)' + \frac{x^2 + v}{x} - \frac{(x^2 + v)^2}{x^3} = 2x$
$2x+ v' + x+ \frac{v}{x} - x - \frac{2v}{x} - \frac{v^2}{x^3} = 0$
$v' - \frac{v}{x} = \frac{u^2}{x^3}$
$\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{v^2}{x^3}$
Разделим на $v^2$ обе части:
$\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{vx} = \frac{1}{x^3}$
Пусть: $g = \frac{1}{v}$, тогда $g' = \frac{v'}{v^2}$
Итоговое уравнение после подстановки:
$g' + \frac{g}{x} = - \frac{1}{x^3}$
Домножим на x 
$x\frac{dg}{dx} + g = - \frac{1}{x^2}$
$\frac{d}{dx}(xdg) + \frac{d}{dx}(gdx) = - \frac{1}{x^2}$
По правилам дифференцирования произведения производных (uv)' = u'v + v'u, но у нас тут вместо штрихов дифференциалы. Получаем:
$\frac{d}{dx} (x*g) = - \frac{1}{x^2}$
$\int \frac{d}{dx}xg = \int - \frac{1}{x^2} dx$
$xg = \frac{1}{x} + C$
$g = \frac{1}{v} = \frac{1+ Cx}{x^2} }$
$v = \frac{x^2}{1+ Cx} }$
ИТОГОВАЯ ФУНКЦИЯ:
$y = y_1 + v = x^2 + \frac{x^2}{1+ Cx} } = \frac{x^2+ x^2 + Cx^3}{1+ Cx} } = \frac{2x^2 + Cx^3}{1+ Cx} }$