Полагаем z=y', тогда уравнение примет вид x³*z'+x²*y-1=0, или z'+1/x*y-1/x³=0. Это обыкновенное ЛДУ 1-го порядка, решаем его заменой y=u*v, откуда y'=u'*v+u*v'. Уравнение запишется в виде u'*v+u*v'+u*v/x-1/x³=0, или v*(u'+u/x)+u*v'-1/x³=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то сделаем это c u и потребуем, чтобы она обращала в нуль выражение в скобках. Получаем уравнение du/dx=-u/x, или du/u=-dx/x. Интегрируя, находим ln/u/=-ln/x/=ln/1/x/. Отсюда u=1/x, и мы приходим к уравнению 1/x*v'=1/x³, или v'=dv/dx=1/*x². Тогда dv=dx/x². Интегрируя, находим v=-1/x+С1, откуда z=u*v=1/x*(-1/x+C1)=-1/x²+C1/x. Тогда y=∫z*dx=-∫dx/x²+C1*∫dx/x=1/x+C1*ln/x/+C2. Проверка: y'=-1/x²+C1/x, y''=2/x³ -C1/x², x³*y''+x²*y'=2-C1*x-1+C1*x=1=1, то есть решение удовлетворяет уравнению. ответ: y=1/x+C1*ln/x/+C2.
1) { х + у = 0 { -3х + 4у = 14 Выразим Х из первого уравнения: х = 0 - у Подставим это выражение за место Х во второе уравнение: -3(0 - у) + 4у = 14; -3у + 4у = 14; у = 14. Теперь находим Х, подставляя найденный У в первое уравнение: х + 14 = 0; х = -14. ответ: (-14; 14) В ответе первое число - Х, второе - У.
2) { 3х - 2у = 6 { 3х + 10у = -12 Выразим Х из первого уравнения: 3х = 6 + 2у; х = 2(3 + у)/3 Подставим это выражение за место Х во второе уравнение: 3*2(3 + у)/3 + 10у = -12; 2(3 + у) + 10у = -12; 6 + 2у + 10у = -12; 12у = -6; у = -0,5 Теперь находим Х, подставляя найденный У в первое уравнение: 3х - 2*(-0,5) = 6; 3х + 1 = 6; 3х = 5; х = 1 и 2/3. ответ: (1 и 2/3; -0,5).
