Question

Решить ! интеграл (3x-1) dx/(x+1)(x-5)

Answer 1

$\int\limits { \frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}} \, dx$
Перед тем, как пытаться брать интеграл, разложим дробь на сумму двух простых дробей. Разложение будем искать в таком виде:
$\frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}= \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x-5} = \frac{Ax-5A+Bx+B}{(x+1)*(x-5)}=\frac{(Ax+Bx)+(B-5A)}{(x+1)*(x-5)}=$
$=\frac{x(A+B)+(B-5A)}{(x+1)*(x-5)}$
Итак, у  нас получилось, что
$\frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}=\frac{x(A+B)+(B-5A)}{(x+1)*(x-5)}$
Рассмотрим, полученное выражение. Знаменатели - одинаковые, а в числителе обращаем внимание на коэффициенты перед иксом и свободные члены. Справа перед иксом стоит множитель (А+В), а слева 3, т.е. А+В=3. Свободный член справа равен (В-5А), а слева (-1), т.е. B-5A = -1.
Получилась система уравнений
$\left \{ {{A+B=3} \atop {B-5A=-1}} \right.$
Из первого вычтем второе: 6А=4, или А=2/3. Находим В=3-А=3-2/3=7/3.
В итоге имеем:
$\frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}= \frac{2/3}{x+1}+ \frac{7/3}{x-5}$
Вот от последнего выражения и будем брать интеграл, который табличный:
$\int\limits { \frac{3x-1}{(x+1)*(x-5)}} \, dx= \int\limits { (\frac{2/3}{x+1}+ \frac{7/3}{x-5}}) \, dx = \frac{2}{3}ln(x+1)+ \frac{7}{3}ln(x-5)+C$