Question

Решите 3 уравнения, . 1) x^4 - 8x^2 + 7 = 0 (b-квадратное уравнение) 2) x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = 0 (теорема безу) 3) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = -56

Answer 1

1.
x^4 - 8x^2 + 7 = 0,
пусть х² = а, тогда получаем квадр.ур-ие:
а² - 8а + 7 = 0,
Д = (-8)² - 4*1*7 = 64 - 28 = 36,
а1 = (8+6)/2*1 = 14/2 = 7,
а2 = (8-6)/2*1 = 2/2 = 1,
при а1:   х² = а1,
х² = 7,
х = +/- √7,
х1 = √7, х2 = -√7,
при а2:   х² = а2,
х² = 1,
х = +/- √1,
х3 = 1, х4 = -1,

2.
X^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = 0,
x^4-x^3-x^2-6x^2+x+6=0,
x^4-x^3-x^2+x-6x^2+6=0,
x^3(x-1)-x(x-1)-6(x^2-1)=0,
x^3(x-1)-x(x-1)-6(x-1)(x+1)=0,
(x-1)(x^3-7x-6)=0,
(x-1)(x^3-x-6x-6)=0,
(x-1)(x(x^2-1)-6(x+1)=0,
(x-1)(x+1)(x^2-x-6)=0,
(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)=0,
х1 = 1, х2 = -1, х3 = 3, х4 = -2,

3.
х(х+3)(х+5)(х+8) = -56,
группируем: 
{x (x + 8)} * {(x + 5)(x + 3)} = -56,
(x² + 8x) * (x² + 3x + 5х + 15) = -56,
(x² + 8x) * (x² + 8х + 15) = -56,

Пусть x² + 8x = а, тогда:
а * (а + 15) = -56,
а² + 15а = -56,
а² + 15а + 56 = 0,
Д = 15² - 4*1*56 = 225 - 224 = 1,
а1 = (-15+1)/2*1 = -14/2 = -7,
а2 = (-15-1)/2*1 = -16/2 = -8,

при а1: 
х²+8х = -7,
х² + 8х + 7 = 0,
Д = 8² - 4*1*7 = 64-28 = 36,
х1 = (-8+6)/2*1 = -2/2 = -1,
х2 = (-8-6)/2*1 = -14/2 = -7,

при а2:
х²+8х = -8,
х² + 8х + 8 = 0,
Д = 8² - 4*1*8 = 64-32 = 32,  (√32 = √16*2 = 4√2),
х3 = (-8+4√2)/2*1 = 2*(-4+2√2)/2*1 = -4 + 2√2,
х4 = (-8-4√2)/2*1 = 2*(-4-2√2)/2*1 = -4 - 2√2