Question

Понять пределы: 1) как получается, что при ? здесь получается 0 или бесконечно малое число ? 2) почему опять же здесь 0 ?

Answer 1

Поясняю.
1) Бесконечно малое - это как раз и есть 0.
2) Здесь - основание степени - 2/3 меньше 1. А в большой степени оно становится нулем. Вот если бы больше 1, то и получилась бы бесконечность.

Answer 2

$\lim\limits _{x \to \infty} \frac{1}{x} =0$

В пределе получили 0 . Это говорит о том, что функция под знаком предела  $f(x)=\frac{1}{x}$  является бесконечно малой.
Это значит, что  числовое значение функции отличается от числа 0 на очень маленькую величину при х стремящемся к ∞. 
Это можно продемонстрировать, придавая "х" конкретные числовые значения, которые увеличиваются:
 $\frac{1}{10}\; \; \frac{1}{100}\; \; \frac{1}{1000}\; \; \frac{1}{10000}\; \; \frac{1}{100000}\; .......$  

Чем больше знаменатель , тем меньше дробь, тем ближе значение этой дроби стремиться к числу 0 , то есть значение функции почти не отличается от числа 0 .
Предельное значение функции, как видно из примера, при увеличении переменной х стремится к 0 , причём не обязательно достигает самого значения 0.
 Поэтому и говорят не о значении функции, а о пределе функции.
А функции, предел которых равен 0, называют бесконечно малыми.

2)  $\lim\limits _{n \to +\infty} \Big ( \frac{2}{3} \Big )^{n}=0\; \; ,\; \; \lim\limits _{n \to -\infty}\Big (\frac{2}{3}\Big )^{n} =+\infty$  

Так как функция  $y=\Big (\frac{2}{3}\Big )^{x}$   убывающая, то при увеличении значений переменной "х"  значения функции уменьшаются, стремятся к 0
(если х--->+∞ , то  y---> 0 ).
А при уменьшении значений переменной "х" значения функции неограниченно растут  (если х---> -∞  , то  y --->  +∞) .
При  х---> -∞  показательная функция  $y=(\frac{2}{3})^{x}$  является бесконечно малой.
При  х---> +∞ показательная функция  $y=(\frac{2}{3})^{x}$  является бесконечно большой.
Эти свойства показ. функции хорошо видны на её графике.