Question

1. исследовать функцию y=f(x) 2.построить график функции y=f(x) y=x^3-3x^2+2x+1

Answer 1

Дана функция  y=x^3-3x^2+2x+1

1.Область определения функции:  х ∈ R.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0.
Решение этого кубического уравнения даёт один действительный корень х = -0,32472.

3. Промежутки знакопостоянства функции: 

y < 0, x ∈ (-∞; -0,32472),

y > 0, x ∈ (-0.32472; +∞).

4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).

Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1.  - Нет
2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - - 2 x - 1.   - Нет
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

5. Периодичность графика - нет периодичности.

6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты.

Так как функция не содержит дробей и корней, то точек разрыва нет.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Производная функции y' = 3x² -6x + 2.

Корни уравнения 3x² -6x + 2 = 0 равны 1 +- (√3/3).

Максимум функции равен 1 + (2/(3√3)) при х = 1 - (√3/3),

минимум равен 1 - (2/(3√3)) при х = 1 + (√3/3).

8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.

Вторая производная равна: y'' =  6х - 6 = 6(x - 1).

Поэтому точка перегиба одна: х = 1, у = 1.

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.
Предел равен ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.
Предел равен ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует.

Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = -\infty.
Предел равен -∞.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = \infty.
Предел равен ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.

y(x)=x3−3x2+2x+1y(x)=x3−3x2+2x+1

Таблица точек:

x y-2.0  -23  -1.5 -12.1 -1.0 -5 -0.5 -0.9 0 1 0.5 1.4 1.0 1 1.5 0.6 2.0 1 2.5 2.9  3.0 7 3.5 14.1 4.0 25

11. Построение графика функции по проведенному исследованию - дан в приложении.