Для доказательства данного тождества мы воспользуемся формулами произведения тригонометрических функций.
Начнем с левой части тождества:
cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a.
Мы можем заметить, что это является разностью двух квадратов, а именно (cos^2a)^2 - 2*2*cos^2a*sin^2a + (sin^2a)^2.
Теперь воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: sin2a = 2*sin a*cos a.
Мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
(cos^2a)^2 - 2*sin^2a*cos^2a + (sin^2a)^2.
Далее, воспользуемся формулой сложения и вычитания тригонометрических функций:
cos2a = cos^2a - sin^2a,
sin2a = 2*sin a*cos a.
Тогда из наших предыдущих выражений мы можем выразить cos^2a и sin^2a через cos2a и sin2a:
cos^2a = (1 + cos2a) / 2,
sin^2a = (1 - cos2a) / 2.
Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:
[(1 + cos2a) / 2]^2 - 2 * [(1 - cos2a) / 2] * [(1 + cos2a) / 2] + [(1 - cos2a) / 2]^2.
После раскрытия скобок получим:
(1 + 2cos2a + cos^2(2a)) / 4 - (1 - cos^2(2a)) + (1 - 2cos2a + cos^2(2a)) / 4.
Просуммируем и сократим некоторые члены выражения:
1/4 + 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 - 1 + cos^2(2a) - 1/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4.
Обратим внимание на группировку членов, содержащих cos2a и cos^2(2a):
1/4 - 1 - 1/4 + 2cos2a/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 + cos^2(2a)/4.
Произведем несколько арифметических операций и объединим слагаемые:
-3/4 + 2cos2a/4 + 2cos^2(2a)/4.
Теперь перепишем это выражение в более лаконичной форме:
(2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4.
Заметим, что числитель данного выражения является формулой для cos4a.
Таким образом, левая часть нашего исходного тождества примет следующий вид:
(cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a) = (2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4 = cos4a.
Таким образом, мы доказали тождество cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a = cos4a.
1) Данная таблица представляет собой зависимость между двумя переменными x и t. Видим, что значения x и t связаны между собой, поэтому мы можем сказать, что это функциональная зависимость.
2) Формула данной зависимости может быть записана в виде: t = k * x, где k - некоторая константа, которая определяет отношение между переменными x и t. Заметим, что в каждой строке таблицы значение переменной t равно произведению значения переменной x на эту константу k.
Теперь заполним таблицу. У нас дана зависимость t = k * x, поэтому нам нужно найти конкретное значение константы k для каждой строки таблицы.
Для первой строки таблицы, где x = 2, мы можем использовать данную формулу, чтобы найти значение t: t = k * 2. В таблице указано, что t = 4, поэтому мы можем решить уравнение 4 = k * 2, чтобы найти значение константы k. Разделим обе стороны уравнения на 2: k = 4 / 2 = 2. Таким образом, для первой строки таблицы константа k равна 2.
Для второй строки таблицы, где x = 0,2, мы также можем использовать данную формулу, чтобы найти значение t: t = k * 0,2. В таблице указано, что t = 40, поэтому мы можем решить уравнение 40 = k * 0,2, чтобы найти значение константы k. Разделим обе стороны уравнения на 0,2: k = 40 / 0,2 = 200. Таким образом, для второй строки таблицы константа k равна 200.
Аналогично, для третьей строки таблицы, где x = 1, мы можем использовать данную формулу, чтобы найти значение t: t = k * 1. В таблице указано, что t = 2, поэтому мы можем решить уравнение 2 = k * 1, чтобы найти значение константы k. Разделим обе стороны уравнения на 1: k = 2 / 1 = 2. Таким образом, для третьей строки таблицы константа k равна 2.
Теперь, используя найденные значения константы k, мы можем заполнить оставшуюся часть таблицы.
x 2 0,2 1
t 4 40 2
Таким образом, конечная заполненная таблица будет выглядеть следующим образом:
x 2 0,2 1
t 4 40 2
