Для решения данной задачи, нам необходимо разместить 16 шахматистов за 8 столов.
Возможные варианты размещения можно представить в виде комбинаций, где каждая комбинация будет состоять из 8 чисел, обозначающих количество шахматистов за каждым из столов.
Давайте рассмотрим различные комбинации и подсчитаем количество вариантов размещения шахматистов:
1) Первый стол – 1 шахматист, второй стол – 1 шахматист, третий стол – 1 шахматист, и т.д.
В данном случае мы будем размещать по 1 шахматисту за каждым из столов. Так как всего у нас 16 шахматистов, то это можно сделать 16 раз. Количество вариантов данного размещения будет равно 1.
2) Первый стол – 2 шахматиста, второй стол – 2 шахматиста, третий стол – 2 шахматиста, и т.д.
Для реализации данного случая мы должны на каждом столе поставить по 2 шахматиста. Так как всего у нас 16 шахматистов и 8 столов, то это можно сделать различными способами.
Для первого стола мы можем выбрать 2 шахматиста из 16 их комбинациями C(16, 2).
Для второго стола мы можем выбрать 2 шахматиста из оставшихся 14 комбинациями C(14, 2).
Аналогично, для третьего и последующих столов мы должны выбрать 2 шахматиста из оставшихся, т.е. C(12, 2), C(10, 2), C(8, 2), C(6, 2), C(4, 2) и C(2, 2).
Таким образом, общее количество вариантов данного размещения будет равно произведению всех комбинаций:
C(16, 2) * C(14, 2) * C(12, 2) * C(10, 2) * C(8, 2) * C(6, 2) * C(4, 2) * C(2, 2).
3) Первый стол – 3 шахматиста, второй стол – 3 шахматиста, третий стол – 3 шахматиста, и т.д.
Аналогично предыдущему пункту, для реализации данного случая мы должны на каждом столе поставить по 3 шахматиста.
Число возможных вариантов будет равно произведению соответствующих комбинаций:
C(16, 3) * C(13, 3) * C(10, 3) * C(7, 3) * C(4, 3) * C(1, 3).
4) Третий стол – 4 шахматиста, четвертый стол – 4 шахматиста, и т.д.
Число возможных вариантов будет равно произведению соответствующих комбинаций:
C(16, 4) * C(12, 4) * C(8, 4) * C(4, 4).
5) Четвертый стол – 5 шахматистов, пятый стол – 5 шахматистов, и т.д.
Число возможных вариантов будет равно произведению соответствующих комбинаций:
C(16, 5) * C(11, 5) * C(6, 5) * C(1, 5).
6) Пятый стол – 6 шахматистов, шестой стол – 6 шахматистов, и т.д.
Число возможных вариантов будет равно произведению соответствующих комбинаций:
C(16, 6) * C(10, 6) * C(4, 6).
7) Шестой стол – 7 шахматистов, седьмой стол – 7 шахматистов, и т.д.
Число возможных вариантов будет равно произведению соответствующих комбинаций:
C(16, 7) * C(9, 7).
8) Седьмой стол – 8 шахматистов, восьмой стол – 8 шахматистов.
В этом случае на каждом столе будет по 8 шахматистов. Мы все оставшиеся шахматисты будем размещать на этих двух столах, и количество вариантов будет равно 1.
Теперь, чтобы найти общее количество вариантов размещения 16 шахматистов за 8 столов, суммируем результаты всех вариантов, описанных выше:
В результате мы получим число, которое и будет обозначать количество возможных вариантов размещения 16 шахматистов за 8 столов, при условии, что участники всех партий известны.
1. Преобразование в произведение:
а) Для преобразования суммы sin 48° + sin 32° в произведение, мы можем использовать формулу сложения для синуса:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Таким образом, sin 48° + sin 32° = sin (48° + 32°) = sin 80°.
Ответ: sin 48° + sin 32° = sin 80°.
б) Для преобразования разности sin 71° - sin 13° в произведение, мы можем использовать формулу разности для синуса:
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b.
Таким образом, sin 71° - sin 13° = sin (71° - 13°) = sin 58°.
Ответ: sin 71° - sin 13° = sin 58°.
в) Для преобразования суммы cos(π/5) + cos(2π/5) в произведение, мы можем использовать формулу сложения для косинуса:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b.
Таким образом, cos(π/5) + cos(2π/5) = cos(π/5 + 2π/5) = cos (3π/5).
Ответ: cos(π/5) + cos(2π/5) = cos (3π/5).
г) Для преобразования разности cos(3π/7) - cos(9π/7) в произведение, мы можем использовать формулу разности для косинуса:
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b.
Таким образом, cos(3π/7) - cos(9π/7) = cos(3π/7 - 9π/7) = cos (-6π/7).
Ответ: cos(3π/7) - cos(9π/7) = cos (-6π/7).
2. Преобразование в произведение:
а) Для преобразования суммы sin 10° + cos 70° в произведение, мы можем использовать формулу сложения для синуса:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Таким образом, sin 10° + cos 70° = sin (10° + 70°) = sin 80°.
Ответ: sin 10° + cos 70° = sin 80°.
б) Для преобразования разности cos 50° - sin 14° в произведение, мы можем использовать формулу разности для синуса:
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b.
Таким образом, cos 50° - sin 14° = cos (50° - 14°) = cos 36°.
Ответ: cos 50° - sin 14° = cos 36°.
3. Доказательство тождества:
а) Дано: (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α.
Рассмотрим выражение sin 2α + sin 6α.
Используя формулу сложения для синуса, получаем:
sin 2α + sin 6α = sin (2α + 6α) = sin 8α.
Аналогично, рассмотрим выражение cos 2α + cos 6α.
Используя формулу сложения для косинуса, получаем:
cos 2α + cos 6α = cos (2α + 6α) = cos 8α.
Теперь, подставим полученные выражения в исходное тождество:
(sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α
(sin 8α) / (cos 8α) = tg 4α.
Таким образом, тождество доказано.
б) Дано: (cos 2α - cos 4α) / (cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α.
Рассмотрим выражение cos 2α - cos 4α.
Используя формулу разности для косинуса, получаем:
cos 2α - cos 4α = -2 sin (3α / 2) sin (α / 2).
Аналогично, рассмотрим выражение cos 2α + cos 4α.
Используя формулу сложения для косинуса, получаем:
cos 2α + cos 4α = 2 cos (3α / 2) cos (α / 2).
Теперь, подставим полученные выражения в исходное тождество:
(cos 2α - cos 4α) / (cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α
(-2 sin (3α / 2) sin (α / 2)) / (2 cos (3α / 2) cos (α / 2)) = tg 3α tg α
(- sin (3α / 2) sin (α / 2)) / (cos (3α / 2) cos (α / 2)) = tg 3α tg α.
Таким образом, тождество доказано.
4. Доказательство тождества:
а) Дано: sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (5α / 2)cos(α)cos(α / 2).
Рассмотрим выражение sin 2α + sin 3α.
Используя формулу сложения для синуса, получаем:
sin 2α + sin 3α = sin (2α + 3α) = sin 5α.
Теперь, рассмотрим выражение sin 2α + sin 3α + sin 4α.
Используя формулу сложения для синуса, получаем:
sin 2α + sin 3α + sin 4α = sin 5α + sin 4α = sin (5α + 4α) = sin 9α.
Теперь, подставим полученные выражения в исходное тождество:
sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (5α / 2)cos(α)cos(α / 2)
sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (9α / 2)cos(α)cos(α / 2).
Таким образом, тождество доказано.
5. Доказательство равенства:
а) Дано: sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sin 1°.
Рассмотрим выражение sin 87° - sin 59°.
Используя формулу разности для синуса, получаем:
sin 87° - sin 59° = sin (87° - 59°) = sin 28°.
Теперь, рассмотрим выражение sin 93° - sin 61°.
Используя формулу разности для синуса, получаем:
sin 93° - sin 61° = sin (93° - 61°) = sin 32°.
Теперь, подставим полученные выражения в исходное равенство:
sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sin 1°
sin 28° - sin 32° = sin 1°.
Таким образом, равенство доказано.
6. Преобразование в сумму или разность:
а) Преобразуем 2 sin 10° cos 5° в сумму:
2 sin 10° cos 5° = sin (10° + 5°) + sin (10° - 5°) = sin 15° + sin 5°.
б) Преобразуем 2 cos (π/5) cos(2π/5) в сумму:
2 cos (π/5) cos(2π/5) = cos (π/5 + 2π/5) + cos (π/5 - 2π/5) = cos (3π/5) + cos (-π/5).
в) Преобразуем cos cos(3) в разность:
cos cos(3) = cos (3) - cos (0).
г) Преобразуем sin(3φ) sin(11φ) в разность:
sin(3φ) sin(11φ) = sin (11φ - 3φ) = sin (8φ).
7. Проверка равенства:
а) Проверим равенство sin (2x) cos(3x) + sin (4x) cos(9x) = sin(6x) cos (7x).
Для этого вначале раскроем произведения с помощью формулы сложения для синуса и косинуса:
sin (2x) cos(3x) + sin (4x) cos(9x) = sin (2x + 3x) + sin (4x + 9x) = sin(5x) + sin(13x),
sin(6x) cos (7x) = sin (6x + 7x) = sin(13x).
Таким образом, равенство верно.
б) Проверим равенство sin (3x) sin x + sin (4x) sin(8x) = sin (7x) sin (5x).
Для этого вначале раскроем произведения с помощью формулы сложения для синуса:
sin (3x) sin x + sin (4x) sin(8x) = sin (3x + x) + sin (4x + 8x) = sin(4x) + sin(12x),
sin (7x) sin (5x) = sin (7x + 5x) = sin (12x).
000 000 000
500 000 000 000:2000=250 000 000
250 000 000:100 000 000=2.5
ответ 2.