Question

1)найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40^{50} \cdot 50^{40}? 2)задумано простое трёхзначное число, все цифры которого различны. на какую цифру оно оканчивается, если его последняя цифра равна сумме первых двух? 3)сколько корней имеет уравнение: |x| = |x - 1| + x - 3? 4)решите уравнение: k·k·x=k(x+5)-5. при каких значениях параметра k уравнение не имеет решений? 5)стоя неподвижно на ступени эскалатора в метро ваня поднимается наверх за одну минуту. взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, он добирается до верха за 40 секунд. за какое время ваня поднимается наверх, если начинает взбегать по ступеням эскалатора, движущегося вниз? дайте ответ в секундах. 6)на часах ровно 9. через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? дайте ответ в минутах с точностью до целых

Answer 1

Задание № 1:

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40^50*50^40?

$40^{50}*50^{40}=4^{50}*10^{50}*5^{40}*10^{40}= (2^2)^{50}*5^{40}*10^{50}*10^{40}= \\ =2^{100}*5^{40}*10^{90} =2^{60}*2^{40}*5^{40}*10^{90} = \\ =2^{60}*10^{40}*10^{90}=2^{60}*10^{130}$

10^130 нас не интересует. Попробуем повозводить 2 в степень:

2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32

Пятая степень, как и первая, оканчивается на 2. Образуется своего рода цикл.

Чтобы узнать последнюю цифру степени N, нужно N разделить на 4. Остаток от деления соответствует степени, последняя цифра которой совпадает с последней цифрой степени N. Остаток 0 соответствует 4-ой степени.

60/4=15, остаток 0 – 4 степень оканчивается на 6, значит и 60 степень оканчивается на 6

ОТВЕТ: 6

Задание № 2:

Задумано простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно оканчивается, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

РЕШЕНИЕ: Всего возможно 10 вариантов: 0123456789.

Четные цифры убираем, иначе число четное. Остаются варианты 13579.

Цифру 5 убираем, иначе число делится на 5. Остаются варианты 1379.

1 убираем, так как 1 нельзя представить в виде суммы двух других цифр. Остаются варианты 379.

Если последняя цифра 3 или 9, то число будет делиться на 3, так как и сумма первых двух цифр в этом случае тоже делится на 3. Число не простое. Тоже не подходит. Остается вариант 7.

ОТВЕТ: 7

Задание № 3:

Сколько корней имеет уравнение: |x|=|x−1|+x−3?

$|x|=|x-1|+x-3 \\ \left[\begin{array}{l} -x=-x+1+x-3, x\ \textless \ 0 \\ x=-x+1+x-3,0 \leq x \leq 1 \\ x=x-1+x-3,x\ \textgreater \ 1 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 0=1+x-3, x\ \textless \ 0 \\ x=+1-3,0 \leq x \leq 1 \\ 0=x-1-3,x\ \textgreater \ 1 \end{array} \\ \left[\begin{array}{l} x=2, x\ \textless \ 0 \\ x=-2,0 \leq x \leq 1 \\ x=4,x\ \textgreater \ 1 \end{array}$

Условию раскрытия модуля соответствует только третья строчка.

ОТВЕТ: 1

Задание № 4:

Решите уравнение: k*k*x=k(x+5)−5. При каких значениях параметра k уравнение не имеет решений?

$k*k*x=k(x+5)-5 \\ k^2x=kx+5k-5 \\ k(k-1)x=5(k-1)$
Если k=1, то уравнение 0х=0 имеет бесконечное множество решений
Иначе, делим на (k-1):
$kx=5$
Если k=0, то уравнение 0х=5 не имеет корней, иначе корень 5/k

ОТВЕТ: 0

Задание № 5:

Стоя неподвижно на ступени эскалатора в метро Ваня поднимается наверх за одну минуту. Взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, он добирается до верха за 40 секунд. За какое время Ваня поднимается наверх, если начинает взбегать по ступеням эскалатора, движущегося вниз? Дайте ответ в секундах.

РЕШЕНИЕ: Пусть длина расстояния L.

Если Ваня взбегает по ступеням неподвижного эскалатора, то скорость движения равна L/40. (Считаем в секундах, в минуте 60 секунд).

Если Ваня стоит неподвижно на ступени эскалатора, то скорость движения равна L/60.

Когда Ваня бежит по ступеням движущегося вниз эскалатора, то скорости Вани и эскалатора вычитаются: L/40-L/60. Тогда время определяется отношением длины к скорости:

$\frac{L}{ \frac{L}{40} - \frac{L}{60} } = \frac{1}{ \frac{1}{40} - \frac{1}{60} } = \frac{1}{ \frac{3}{120} - \frac{2}{120} } =\frac{1}{ \frac{1}{120} } =\frac{120}{1}=120$

ОТВЕТ: 120 секунд

Задание № 6:

На часах ровно 9. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах с точностью до целых.

РЕШЕНИЕ: рассматриваем минутный циферблат:

координата часовой: 45+t/12 // 9 часов соответствует 45 минутам на циферблате, скорость часовой в 12 раз меньше скорости минутной

координата минутной: 0+t

t - время

координаты должны совпасть

45+t/12=t

45=11t/12

11t=540

t=49,09=49

ОТВЕТ: через 49 минут