Его характеристическое уравнение имеет вид:
k² + 4 = 0
k² = -4
Его корни k₁,₂ = 2i.
То есть в данном случае корни комплексные(k₁=α+βi,k₂=α-βi) и для них α = 0,β =2 Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:
y(x) = C₁cos(βx) +C₂sin(βx) = C₁cos(2x) +C₂sin(2x)
Для нахождения функций C₁ и C₂ используем начальные условия:
y(0)=1; y'(0) = 2
y(0) =C₁cos(2*0) + C₂sin(2*0) = C₁ = 1.
Найдем производную функции:
y'(x) = -2C₁sin(2x) + 2C₂cos(2x).
Подставим начальное условие:
y'(0) = -2sin(0) + 2C₁cos(0) = 2С₁ = 2 ⇒С₁ = 1.
Следовательно частное решение дифференциального уравнения:
y(x) = cos(2x) + sin(2x)
Проверка: y'(x) = -2sin(2x) + 2cos(2x)
y''(x) = -4cos(2x) - 4sin(2x)
Подставляем в исходное уравнение
y'' + 4y = -4cos(2x) - 4sin(2x) + 4(cos(2x)+sin(2x)) = 0
ответ: y(x) = cos(2x) + sin(2x)
3=k+b
0=4k+b
3=-3k
b=3-k
k=-1
b=4
y=-x+4 - уравнение стороны BC
Выведем уравнение для стороны AD:
сторона AD параллельна стороне BC, т.е. имеет тот же угол наклона:
y=-x+b
по координатам точки A определим b:
2=1+b
b=1
y=-x+1 - уравнение стороны AD
Выведем уравнение для высоты BK:
сторона AD имеет угол наклона arctg(-1)=135 градусов
высота BK имеет угол наклона 135-90=45 градусов:
y=x*tg45+b
у=х+b
по координатам точки В определим b:
3=1+b
b=2
y=x+2 - уравнение высоты BK
определим координаты точки пересечения AD и BK (точки K):
-x+1=x+2
2x=-1
x=-1/2=-0,5
y=-0,5+2=1,5
вычислим длину высоты BK (примечание: sqrt - квадратный корень):
BK=sqrt((3-1,5)^2+(1+0,5)^2)= sqrt(1,5^2+1,5^2)=sqrt(2,25+2,25)=sqrt(4,5)
Выведем уравнение для стороны AB:
2=-k+b
3=k+b
2b=5
k=3-b
b=5/2
k=1/2
b=2,5
k=0,5
y=0,5x+2,5 - уравнение стороны AB
вычислим угол ABK:
BK имеет угол наклона 45 градусов
AB имеет угол наклона arctg(0,5)
tg(ABK)=tg(45-arctg(0,5))=(tg45+tgarctg(0,5))/(1-tg45*tgarctg(0,5))=(1+0,5)/(1-0,5)=3
угол ABK составляет arctg3 градусов
Выведем уравнение для диагонали BD:
диагональ BD имеет угол наклона (90+arctg3) градусов:
y=x*tg(90+arctg3)+b
по координатам точки B определим b:
3=tg(90+arctg3)+b
b=3-tg(90+arctg3)
y=x*tg(90+arctg3)+3-tg(90+arctg3)
y=3+(x-1)tg(90+arctg3) - уравнение диагонали BD
Выведем уравнение для диагонали AC:
2=-k+b
0=4k+b
5k=-2
b=2+k
k=-2/5
b=8/5
k=-0,4
b=1,6
y=-0,4x+1,6 - уравнение диагонали АС
угол наклона диагонали АС составляет arctg(-0,4)=-arctg(0,4) градусов
угол между диагоналями BD и AC: 90+arctg3+arctg(0,4)
тангенс найденного угла: tg(90+arctg3+arctg(0,4))
косинус угла B параллелограмма: cos(90+arctg3)=cos90*cosarctg3-sin90*sinarctg3=0-sinarctg3=-sinarctg3