Будем писать, сколько после каждого действия осталось жидкости в каждой емкости следующим образом:
a - b - c
где a - количество литров жидкости в емкости объемом 10 литров (далее - первая емкость, b - 7 литров (далее - вторая емкость), с - 3 литра (далее - третья емкость).
Изначально:
10 - 0 - 0
Переливаем из первой емкости во вторую:
3 - 7 - 0
Переливаем из второй в третью:
3 - 4 - 3
Из третьей в первую, затем из второй в третью:
6 - 1 - 3
Из третьей в первую, затем из второй в третью:
9 - 0 - 1
Переливаем из первой емкости во вторую:
2 - 7 - 1
Из второй в третью:
2 - 5 - 3
Получили 5 литров во второй емкости.
Пошаговое объяснение:
Система линейных уравнений:
3x₁+4x₂+2x₃=8
2x₁-4x₂-3x₃=-1
x₁+5x₂+x₃=0
Представим систему в матричном виде:
( 3 4 2 | 8 )
( 2 -4 -3 | -1 )
( 1 5 1 | 0 )
Решаем методом Гаусса (подробно расписывать не буду, только укажу какие действия необходимо производить с определенными строками):
1-ю (верхнюю) строку будем делить на 3 (для примера: 3/3=1):
( 1 4/3 2/3 | 8/3 )
( 2 -4 -3 | -1 )
( 1 5 1 | 0 )
Сейчас немного посложнее. От 2-й (средней) строки будем отнимать 1-ю строку, умноженную на 2: (2-1·2=2-2=0). От 3-й (нижней) строки будем отнимать 1-ю строку, умноженную на 1: (1-1·1=1-1=0):
( 1 4/3 2/3 | 8/3 )
( 0 -20/3 -13/3 | -19/3 )
( 0 11/3 1/3 | -8/3 )
Теперь 2-ю строку будем делить на (-20/3). Здесь получится умножением на (-3/20), так что можно будет получить десятичную дробь:
( 1 4/3 2/3 | 8/3 )
( 0 1 0,65 | 0,95 )
( 0 11/3 1/3 | -8/3 )
Затем от 1-й строки отнимем 2-ю строку, умноженную на 4/3. От 3-й строки отнимем 2-ю строку, умноженную на 11/3, и сразу же переводим в десятичную дробь:
( 1 0 -0,2 | 1,4 )
( 0 1 0,65 | 0,95 )
( 0 0 -2,05 | -6,15 )
Ну а теперь 3-ю строку поделим на (-2,05):
( 1 0 -0,2 | 1,4 )
( 0 1 0,65 | 0,95 )
( 0 0 1 | 3 )
Так, с 3-й строкой закончили. Остались заключительные действия: к 1-й строке прибавим 3-ю строку, умноженную на 0,2. От 2-й строки отнимем 3-ю строку, умноженную на 0,65:
( 1 0 0 | 2 )
( 0 1 0 | -1 )
( 0 0 1 | 3 )
x₁=2; x₂=-1; x₃=3.
ответ готов. Теперь быстренько решим эту систему уравнений методом Крамера.
Используем формулу для вычисления определителя матрицы (определитель 3-го порядка). Здесь поподробнее:
| 3 4 2 |
∆=| 2 -4 -3 |=3·(-4)·1+4·(-3)·1+2·2·5-2·(-4)·1-3·(-3)·5-4·2·1=-12-
| 1 5 1 | -12+20+8+45-8=41
Как видим определитель системы не равен 0, то метод Крамера можно использовать дальше в решении.
| 8 4 2 |
∆₁=| -1 -4 -3 |=8·(-4)·1+4·(-3)·0+2·(-1)·5-2·(-4)·0-8·(-3)·5-
| 0 5 1 | -4·(-1)·1=-32+0-10-0+120+4=82
| 3 8 2 |
∆₂=| 2 -1 -3 |=3·(-1)·1+8·(-3)·1+2·2·0-2·(-1)·1-3·(-3)·0-8·2·1=-3-
| 1 0 1 | -24+0+2-0-16=-41
| 3 4 8 |
∆₃=| 2 -4 -1 |=3·(-4)·0+4·(-1)·1+8·2·5-8·(-4)·1-3·(-1)·5-4·2·0=0-
| 1 5 0 | -4+80+32+15-0=123
x₁=∆₁/∆=82/41=2
x₂=∆₂/∆=-41/41=-1
x₃=∆₃/∆=123/41=3
Ну вот и всё. Я надеюсь немного стало понятнее.
х=8 координата точки А
2*8-3=13 координата точки б