Пошаговое объяснение:y'' = e2x
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2+0 r + 0 = 0
D=0*2 - 4·1·0=0 r1=0 r2=0
Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r = 0 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0x
y2 = xe0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y1=C1 +C2x
Ci ∈ R
Рассмотрим правую часть:
f(x) = e2x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eax(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeax(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
y· = Ae2x
Вычисляем производные:
y' = 2·A·e2x
y'' = 4·A·e2x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' = (4·A·e2x) = e2x
или 4·A·e2x) = e2x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: 4A = 1
Решая ее, находим:
A = 1/4;
Частное решение имеет вид:
y2=1/4 *e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y=y1+y2 =C1 +C2x +1/4 *e2x
Найдем частное решение при условии: y(0) = 3, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = C1+1/4, то получаем первое уравнение:
C1+1/4 = 3
Находим первую производную:
y' = C2+e2x/2
Поскольку y'(0) = C2+1/2, то получаем второе уравнение:
C3+1/2 = 0
В итоге получаем систему из двух уравнений:
C1+1/4 = 3
C2+1/2 = 0
т.е.:
C1 = 11/4, C2 = -1/2
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
y=11/4 - 1/2 *x +1/4*e2x
