Question

Доказать тождество cos^2x-sin^2x=2cos^2x*tgx/tg2x

Answer 1

Чтобы доказать тождество, нам необходимо знать:
1) Косинус двойного угла
$cos2x=cos^2x-sin^2x$;
2)Синус двойного угла
   $sin2x=2sinxcosx$;
3) Тангенс
    $tgx= \frac{sinx}{cosx}$
Для начала преобразуем левую часть:
$cos^2x-sin^2x=cos2x$
Выполним преобразования в правой части:
$2cos^2x* \frac{tgx}{tg2x} = 2cos^2x* \frac{sinx}{cosx*tg2x} = \frac{2cos^2xsinx}{cosx*tg2x} =\frac{2cosxsinx}{tg2x} =\\\\=\frac{sin2x}{tg2x} = sin2x:tg2x=sin2x: \frac{sin2x}{cos2x} =sin2x* \frac{cos2x}{sin2x} =cos2x$.
И левая, и правая части равны cos2x. 
ч.т.д.