Пусть первая прямая имеет угловой коэффициент 
, а вторая прямая имеет угловой коэффициент 
, где 
и 
- соответствующие углы наклона прямых к положительному направлению оси 
.
Рассмотрим угол между этими прямыми. Пусть 
, тогда он равен 
. Найдем соотношение между этим углом и угловыми коэффициентами прямых. Используем формулу тангенса разности:
Так как мы хотим получить условие перпендикулярности двух прямых, то считаем угол между прямыми 
.
Тангенс 90 градусов не определен, но можно сказать что он стремится к бесконечности к стремлении аргумента к 90 градусам.
Но если дробь стремится к бесконечности, то знаменатель стремится к нулю.
В пределе знаменатель равен нулю. Тогда получим:
Можно выразить один из коэффициентов:
Тогда формулируется легкое правило: Две прямые перпендикулярны, когда их угловые коэффициенты являются противоположными обратными числами.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
Составим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
Составим характеристическое уравнение и решим его:
Общее решение однородного уравнения:
Запишем в общем виде частное решение данного неоднородного уравнения, учитывая, что в правой части стоит произведение экспоненты и на косинус, а также то, что степень экспоненты и выражение под знаком косинуса совпадают с соответствующими выражениями, полученными при решении однородного уравнения:
Находим первую производную:
Находим вторую производную:
Подставляем в исходное уравнение:
Условие равенства левой и правой частей:
Частное решение данного неоднородного уравнения:
Общее решение данного неоднородного уравнения:
2/3 : 1 ≠ 21 : 3
2/3 ≠ 7
ответ: пропорция не верна.
б) 2/3 : 0,3 = 1/2 : 7/20
2/3 * 7/20 = 0,3 * 1/2
7/30 = 3/10* 1/2
7/30 ≠ 3/20
14/60 ≠ 9/60
ответ: пропорция не верна.