Question

Исследовать на сходимость и вычислить сумму ряда прогрессии: 1 + q + q^2 + + q^n +

Answer 1

Здесь нужно рассматривать четыре случая.
$\triangleright~~~~~ 1.~~|q|\ \textless \ 1~~~~\Rightarrow~~~$  сходится.

         $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1-q^n}{1-q}= \frac{1}{1-q} -\underbrace{\lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{1-q} }_{=0}= \frac{1}{1-q}.$

          $\boxed{S= \frac{1}{1-q} }~~-~~$  сумма ряда геометрической прогрессии

$~~~~~ 2.~~|q|\ \textgreater \ 1~~~~\Rightarrow~~~$  расходится

        $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n= \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^n}{1-q}= \frac{1}{1-q}-\underbrace{ \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{1-q} }_{=\infty}=\infty.$

$~~~~~ 3.~~ q=1~~~~~\Rightarrow~~~~$  расходится.

       $S_n=\underbrace{1+1+...+1}_{n}=n;~~~~\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n= \lim_{n \to \infty} n=\infty.$

$~~~~~ 4.~~ q=-1~~~~\Rightarrow~~$  расходится.

      $S_n=\underbrace{1-1+...\pm1}_{n}=0~~ or~~1;~~~ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$ не существует               $\triangleleft$