Question

Течение процесса y = y(t) описывается уравнением y′′ = 4/(t^2 + 1)^2 , скорость процесса в момент t = 0 равна нулю, начальное состояние процесса y(0)=3. найти состояние процесса в момент t = 5 . вычисления провести с точностью до 0,1.

Answer 1

У процесса y(t) известно его ускорение
$y'' = \frac{4}{(t^2 + 1)^2}$

Чтобы найти уравнение самого процесса, нужно взять подряд два интеграла.
Находим скорость процесса y'(t):

$y'(t) = \int\limits {\frac{4}{(t^2 + 1)^2}} \, dt$

Сделаем замену $t = tgx$
$dt = \frac{dx}{cos^2 x}$
$(t^2+1)^2 = (tg^2 x +1)^2 = ( \frac{sin^ x}{cos^2 x}+1)^2 = ( \frac{sin^ x}{cos^2 x}+\frac{cos^ x}{cos^2 x})^2 = \frac{1}{cos^4 x}$

$\int\limits {\frac{4}{(t^2 + 1)^2}} \, dt = 4 \int\limits { \frac{1}{ \frac{1}{cos^4 x} }* \frac{1}{cos^2 x} } \, dx = 4 \int\limits { cos^2 x } \, dx = \\ \\ 4 \int\limits { \frac{1}{2}( cos 2x+1) } \, dx = 2 ( \frac{1}{2} sin 2x+x) +C = sin 2x+2x +C =$

Обратная замена

$= 2sin(arctgt)cos*arctg(t) + 2 arctgt +C = \\ \\ = 2 \frac{x}{ \sqrt{t^2+1} }\frac{1}{ \sqrt{t^2+1} } +2arctgt + C = 2( \frac{t}{t^2+1} +arctgt) + C$

По условию, скорость процесса при t = 0 равна
$y'(0) = 2( \frac{0}{0^2+1} +arctg0) + C = 0 \\ \\ C = 0$

Итак, скорость процесса:
$y'(t) = 2( \frac{t}{t^2+1} +arctgt)$

Находим сам процесс, для чего приходится брать ещё один интеграл:
$y(t) = \int\limits {2( \frac{t}{t^2+1} +arctgt)} \, dt$

Разобъём интеграл на два и возьмём их по отдельности:
$\int\limits { \frac{2t}{t^2+1} } \, dx = 2 \int\limits { \frac{1}{2} \frac{}{t^2+1} } \, d(t^2+1)= ln(t^2+1) + C$

Второй интеграл будем брать по частям:
$\int\limits {2 arctgt} \, dt = 2tarctgt - 2\int\limits {t \frac{1}{t^2+1} } \, dt = \\ \\ u =arctgt; du = \frac{dx}{x^2+1} \\ dv = dx; v = x \\ \\ =2tarctgt - 2\int\limits { \frac{1}{2} \frac{1}{t^2+1} } \, d(t^2+1) = 2tarctgt - \int\limits { \frac{1}{t^2+1} } \, d(t^2+1) = \\ \\ = 2tarctgt - ln(t^2+1) + C$

Собираем вместе:
$y(t) = ln(t^2+1) + 2tarctgt - ln(t^2+1) + C = 2tarctgt +C$

Используем начальное состояние для нахождения постоянной интегрирования:
$y(0) = 2*0*arctg0 +C = 3 \\ C =3$

Итак, сам процесс:
$y(t) = 2*t*arctgt +3$

Считаем состояние процесса в момент t = 5:
$y(5) = 2*5*arctg5 +3 = 10arctg5 +3 = 10* 1.37 + 3 =16.7$