Question

Составить уравнения касательных к гиперболе: x^2/22-y^2/2=1, перпендикулярных к прямой 3x+2y-3=0

Answer 1

Составить уравнения касательных к гиперболе: x²/22 - y²/2 = 1, перпендикулярных к прямой 3x+2y-3=0

Решение:  Уравнение касательной к гиперболе x²/a² - y²/b² = 1имеет вид

                           x*x₁/a²  – y*y₁/b²  = 1

или

                          x*x₁/22 –y*y₁/2 =1 ⇔  x*x₁ – 11y*y₁ – 22 = 0

$x*\frac{x_1}{22}- y*\frac{y_1}{2} =1 \ \textless \ =\ \textgreater \ x*x_1-11y*y_1-22=0$

перпендикулярна к прямой

                          3x + 2y - 3 = 0   имеет вид        2(x - x₂) - 3(y - y₂) = 0

Касательная к гиперболе имеет угловой коэффициент

                                          k₁ = x₁/(11y₁)

Касательная перпендикулярная к прямой имеет угловой коэффициент

                                                k₂= 2/3

Очевидно что эти коэффициенты равны

                                                      k₁ = k₂

                                              x₁/(11y₁) = 2/3 ⇔    x₁ = 22y₁/3

 кроме того касательная в точке (x₁; y₁) имеет общую точку с гиперболой

                               (x₁)²/22 – (y₁)²/2 =1

                      (22y₁)²/(22*9) – (y₁)²/2 = 1

                                   22y₁²/9 – y₁²/2 = 1

                                   y₁²(22/9 - 1/2) = 1

                                    y₁²(44 - 9)/18 = 1 ⇔  y₁² = 18/35

                                      y₁ = 3√(2/35)   y₁ = - 3√(2/35)

                                      x₁ = 22√(2/35)   x₁ = -22√(2/35)

Получили две точки через которые проходит касательная перпендикулярная прямой  (22√(2/35); 3√(2/35)) и (-22√(2/35);-3√(2/35))

Запишем уравнение касательных

           x√(2/35) – 1,5√(2/35)y = 1⇔2x – 3y – 2√(35/2) = 0

и     -x√(2/35) + 1,5√(2/35)y  = 1 ⇔  2x – 3y + 2√(35/2) = 0