Question

Исследовать функцию и построить ее график : y= x/x²-4

Answer 1

ДАНО

Y= x/(x²-4)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x). В знаменателе не ноль.  (x²-4)=(x-2)(x+2)≠0

 Х∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞).

Вертикальных асимптоты (две) - х1 = -2,.х2 = 2.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.(Делим и числитель и знаменатель на Х  в степени числителя)

$Y= \frac{1}{x- \frac{4}{x} }=0$  

limY(+∞) = 0. 

Горизонтальная асимптота   Y=0.

5. Исследование на чётность.Y(-x) = - Y(x).

Функция нечётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= \frac{1}{(x^2-4)}- \frac{2x^2}{(x^2-4)^2}$

 Корней  - нет.

7. Локальные экстремумы.Максимума и минимума  – нет.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает на всем интервале определения.

9. Вторая производная - Y"(x).

 $Y"(x)= \frac{-6x}{(x^2-4)^2}+ \frac{8x^3}{(x^2-4)^3}$

Корни производной - точки перегиба:  х = 0 и в точках разрыва вычисляем пределы при х = +/-2. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-2)∪(0;2), Вогнутая – «ложка» Х∈(-2;0)∪(2;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x = 1/(x²-4) = 0. Совпадает с горизонтальной асимптотой. 

12.График в приложении.