Question

Решить надо найти угол между плоскостями x-y√2+z-1=0, x+y√2-z+3=0

Answer 1

$\pi _1:\; \; x-y\sqrt2+z-1=0\; \; ,\; \; \; \vec{n}_1=(1,-\sqrt2,1)\\\\\pi _2:\; \; x+y\sqrt2-z+3=0\; \; ,\; \; \; \vec{n}_2=(1,\sqrt2,-1)\\\\cos\varphi =\frac{\vec{n}_1\cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}=\frac{1\cdot 1-\sqrt2\cdot \sqrt2-1\cdot 1}{\sqrt{1+2+1}\cdot \sqrt{1+2+1}}=\frac{-2}{2\cdot 2} =- \frac{1}{2}\\\\\varphi =arccos(-\frac{1}{2}) =\pi -arccos \frac{1}{2}=\pi - \frac{\pi }{3} = \frac{2\pi }{3}$

Answer 2

Добрый день! Давайте рассмотрим задачу по нахождению угла между данными плоскостями x-y√2+z-1=0 и x+y√2-z+3=0.

Шаг 1: Запишем уравнения плоскостей в общем виде. Для первой плоскости у нас есть уравнение: x - y√2 + z - 1 = 0. А для второй плоскости - x + y√2 - z + 3 = 0.

Шаг 2: Найдем нормальные векторы плоскостей. Нормальный вектор плоскости с коэффициентами (a, b, c) можно получить из уравнения плоскости, где a, b и c - это коэффициенты перед x, y и z в уравнении плоскости.

Для первой плоскости у нас нормальный вектор будет иметь координаты (1, -√2, 1), а для второй плоскости - (-1, √2, -1).

Шаг 3: Найдем косинус угла между векторами нормалей, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами. Формула: cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|), где A и B - векторы, * обозначает скалярное произведение, a |A| и |B| - длины векторов A и B соответственно.

В нашем случае, A = (1, -√2, 1) и B = (-1, √2, -1). Вычислим каждую составляющую формулы:

|A| = √(1^2 + (-√2)^2 + 1^2) = √(1 + 2 + 1) = √4 = 2
|B| = √((-1)^2 + (√2)^2 + (-1)^2) = √(1 + 2 + 1) = √4 = 2
A * B = (1 * -1) + (-√2 * √2) + (1 * -1) = -1 - 2 + (-1) = -4

Теперь можно сосчитать косинус угла между векторами:
cos(θ) = (-4) / (2 * 2) = -4 / 4 = -1

Шаг 4: Найдем сам угол θ, используя косинус:
θ = arccos(-1) ≈ 180 градусов

Таким образом, угол между данными плоскостями равен примерно 180 градусов.

Надеюсь, я смог дать подробное объяснение и решение вам. Если у вас есть еще вопросы, обращайтесь!