Question

Функции нескольких переменных. дана функция двух независимых переменных х и y. требуется найти найти а) полный дифференциал: б) экстремум функции. z=3x^2+xy-6y^2-6x-y+9 .

Answer 1

А) Находим частные производные.
dz/dx=6*x+y-6, dz/dy=x-12*y-1
Полный дифференциал dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy=(6*x+y-6)*dx+(x-12*y-1)*dy

б) Приравнивая частные производные нулю, получаем систему уравнений:

6*x+y-6=0
x-12*y-1=0

Решая её, находим x=1 и y=0 - координаты стационарной точки. Обозначим её через M(1,0). Находим вторые частные производные:
d²z/dx²=6, d²z/dy²=-12, d²z/dxdy=1. Так как вторые частные производные есть постоянные величины, то они имеют такие же значения и в точке М: d²z/dx²(M)=6, d²z/dy²(M)=-12, d²z/dxdy(M)=1. Обозначим теперь d²z/dx²(M)=A, d²z/dxdy(M)=B, d²z/dy²(M)=C. Так как B²-A*C=1-6*(-12)=73>0, то точка М не является точкой экстремума. А так как других стационарных точек нет, то экстремума функция не имеет.

ответ: а) dz=(6*x+y-6)*dx+(x-12*y-1)*dy,
            б) функция не имеет экстремумов.