Question

Все рёбра правильной четырехугольной призмы sabcd равны. точка у - середина sc. вычислите градусную меру угла между прямыми de и sb.

Answer 1

Если задан многоугольник SABCD, то это пирамида, а не призма.
Примем длину рёбер заданной пирамиды равными 1.
Точка Е - середина SC.

Задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми DE И SB можно решить двумя
1) геометрическим,
2) векторным.

1) Сделаем параллельный перенос DE точкой Е в середину SB - пусть это точка К.
Получим треугольник SKM в одной плоскости, где искомый угол - это MKS.
Находим длины его сторон.
SK = 1/2 по условию задания (SЕ = SK).
Отрезок SM как апофема равен √3/2.
МК = ДЕ. Рассмотрим осевое сечение пирамиды через 2 боковых ребра.
В сечении равнобедренный прямоугольный треугольник, так боковые стороны равны по 1, а основание - это диагональ квадрата, равная √2.
Тогда высота he точки Е от основания равна половине высоты Н пирамиды. he = (1/2)*1*sin 45° = √2/4.
Проекция ДЕ на основание равна √(0,75² + 0,25²) =  √(0,5625 + 0,0625) = = √0,625 ≈  0,79056942.
Получаем длину ДЕ = √(√2/4)² + (√0,625)²) =  √(0,125 + 0,625) = = √0,75 ≈ 0,866025.
Теперь по теореме косинусов находим искомый угол.
cos MKS = (MK² + KS² -MS²)/(2*MK*KS).
Подставив значения сторон, находим:
cos MKS =  0,2886751
Угол MKS = 1,2779536 радиан или 73,221345°.

2) Примем систему координат: Ох по стороне АД, Оу по стороне АВ, Oz через точку А.
Определяем координаты точек:
Д(1; 0; 0), Е(0,75; 0,75; (√2/4), вектор ДЕ (-0,25; 0,75; (√2/4)).
S(0,5; 0,5; (√2/2)), B(0; 1; 0), вектор SB (-0,5; 0,5; (-√2/2)).
cos(DE∧SB) = |((-0.25*(-0.5)+0.75*0.25+(√2/4)*(-√2/2))|/(√(-0,25²+ 0,75²+ (√2/4)²)*√((-0,5)²+ 0,5²+ (-√2/2)²) =  0,25/ 0,8660254 =  0,2887. 
a_b рад 1,2780, a_b град 73,221345.