Определим свойства данной параболы.
Перепишем уравнение в каноническом виде.
Пошаговое объяснение:
Выделяем полный квадрат в выражении −x2−2x−1-x2-2x-1.
Используем вид записи ax2+bx+cax2+bx+c для поиска значений aa, bb и cc.
a=−1,b=−2,c=−1a=-1,b=-2,c=-1
Рассмотрим уравнение параболы с вершиной в произвольной точке.
a(x+d)2+ea(x+d)2+e
Подставим значения aa и bb в формулу d=b2ad=b2a.
d=−22(−1)d=-22(-1)
Упростим правую часть.
Сократить общий множитель 22.
Сократить общий множитель
d=−22⋅−1d=-22⋅-1
Перепишем выражение.
d=−1−1d=-1-1
Выносим знак минус перед дробью из знаменателя 1−11-1.
d=−(−1⋅1)d=-(-1⋅1)
Перемножим.
Умножим −1-1 на 11.
d=1d=1
Умножим −1-1 на −1-1.
d=1d=1
Найдем значение ee с формулы e=c−b24ae=c-b24a.
Упростим каждый член.
Возведем −2-2 в степень 22.
e=−1−44⋅−1e=-1-44⋅-1
Умножим 44 на −1-1.
e=−1−4−4e=-1-4-4
Делим 44 на −4-4.
e=−1+1e=-1+1
Умножим −1-1 на −1-1.
e=−1+1e=-1+1
Складываем −1-1 и 11.
e=0e=0
Подставляем значения aa, dd, и ee в уравнение канонического вида a(x+d)2+ea(x+d)2+e.
−(x+1)2+0-(x+1)2+0
Приравняем yy к новой правой части.
y=−(x+1)2+0y=-(x+1)2+0
Используя уравнение в виде y=a(x−h)2+ky=a(x-h)2+k, определим значения aa, hh и kk.
a=−1a=-1
h=−1h=-1
k=0k=0
Так как значение aa отрицательно, парабола направлена вниз.
Ветви направлены вниз
Найдем вершину (h,k)(h,k).
(−1,0)(-1,0)
Найдем pp, расстояние от вершины до фокуса.
Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы с следующей формулы.
14a14a
Подставим значение aa в формулу.
14⋅−114⋅-1
Сократим общий множитель для 11 и −1-1.
Записываем 11 как −1(−1)-1(-1).
−1(−1)4⋅−1-1(-1)4⋅-1
Выносим знак минус перед дробью.
−14-14
Найдем фокус.
Фокус параболы может быть найден с прибавления pp к координате Y kk вершины параболы, ветви которой направлены вверх или вниз.
(h,k+p)(h,k+p)
Подставим известные значения hh, pp и kk в формулу и упростим.
(−1,−14)(-1,-14)
Найдем ось симметрии, определив прямую, проходящую через вершину и фокус.
x=−1x=-1
Найдем направляющую.
Директрисой параболы является горизонтальная прямая, определяемая вычитанием pp из координаты Y kk вершины параболы, ветви которой направлены вверх или вниз.
y=k−py=k-p
Подставим известные значения pp и kk в формулу и упростим.
y=14y=14
Воспользуемся свойствами параболы для того, чтобы исследовать функцию параболы и построить её график.
Направление: направлено вниз
Вершина: (−1,0)(-1,0)
Фокус: (−1,−14)(-1,-14).
Ось симметрии: x=−1x=-1
Направляющая: y=14y=14
Выберем несколько значений xx и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения yy. Значения xx должны выбираться близко к вершине.
Заменим в выражении переменную xx на −2-2.
f(−2)=−(−2)2−2⋅−2−1f(-2)=-(-2)2-2⋅-2-1
Упростим результат.
−1-1
Значение yy при x=−2x=-2 равняется −1-1.
y=−1y=-1
Заменим в выражении переменную xx на −3-3.
f(−3)=−(−3)2−2⋅−3−1f(-3)=-(-3)2-2⋅-3-1
Упростим результат.
−4-4
Значение yy при x=−3x=-3 равняется −4-4.
y=−4y=-4
Заменим в выражении переменную xx на 00.
f(0)=−(0)2−2⋅0−1f(0)=-(0)2-2⋅0-1
Упростим результат.
−1-1
Значение yy при x=0x=0 равняется −1-1.
y=−1y=-1
Заменим в выражении переменную xx на 11.
f(1)=−(1)2−2⋅1−1f(1)=-(1)2-2⋅1-1
Упростим результат.
−4-4
Значение yy при x=1x=1 равняется −4-4.
y=−4y=-4
Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.
xy−3−4−2−1−100−11−4xy-3-4-2-1-100-11-4
Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.
Направление: направлено вниз
Вершина: (−1,0)(-1,0)
Фокус: (−1,−14)(-1,-14).
Ось симметрии: x=−1x=-1
Направляющая: y=14y=14
xy−3−4−2−1−100−11−4
(2у+1)^2
Выразим из первого уравнения системы {х + 2у = 1; 2х + у² = -1 переменную х через переменную у.
х = 1 - 2у.
Во второе уравнение системы вместо х подставим выражение (1 - 2у), и решим получившееся уравнение.
2(1 - 2у) + у² = -1;
2 - 4у + у² + 1= 0;
у² - 4у + 3 = 0;
D = b² - 4ac;
D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4;
x = (-b ± √D)/(2a);
y = (-(-4) ± √4)/(2 * 1) = (4 ± 2)/2;
y1 = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3;
y2 = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1.
Из х = 1 - 2у найдем х1 и х2.
х1 = 1 - 2у1 = 1 - 2 * 3 = 1 - 6 = -5;
х2 = 1 - 2у2 = 1 - 2 * 1 = 1 - 2 = -1.
ответ. (-5; 3); (-1; 1).
Пошаговое объяснение:
2.
3.
4.