Question

Дан равнобедренный треугольник abc(ac=bc). на сторонах bc,ac,ab отмечены точки a1,b1,c1 соответственно. оказалось, что c1b1 перпендикулярно aс,b1a1 перпендикулярно bc и b1a1=b1c1. докажите, что a1c1 перпендикулярно ab.

Answer 1

1) Проведём для начала  А1С1
2)Рассмотрим треугольник СВ1А1 он прямоугольный
Пусть угол B1 в нем равен альфа, тогда угол С1В1А1= 90- альфа (Потому что В1С1 перпендикулярно АС и сумма углов при вершине В1 равна 90 градусов)
3) Рассмотрим треугольник А1В1С1 он равнобедренный
Угол С1В1А1= 90- альфа, тогда можно найти 2 других угла, которые будут равны тоже по 90- альфа, следовательно этот треугольник равносторонний и углы равны по 60 градусов
4)Рассмотрим треугольник СВ1А1 он прямоугольный. Мы знаем что 90- альфа = 60, значит альфа= 30 градусов(это угол В1)
Теперь найдем угол С он равен 60 градусов, следовательно треугольник АВС равносторонний, значит все углы там по 60 градусов.
5) Рассмотрим треугольник АВ1С1 он прямоугольный. Найдем угол В1С1А= 30 градусов
6) Найдем угол А1С1В= 180-60-30=90 градусов. Отсюда следует, что А1С1 перпендикулярно АВ.