Question

Разобраться с параметром ! найдите все значения а ,при каждом из которых неравенство /x^2-4x+a-5/< _(меньше либо равно ) 10 выполняется для всех x [ a-5, a]

Answer 1

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство |x²-4x+a-5| ≤ 10 выполняется для всех x∈[a-5;a].

-10 ≤ x²-4x+a-5 ≤ 10

-x²+4x+5-10 ≤ a ≤ -x²+4x+5+1

-(x-2)²-1 ≤ a ≤ -(x-2)²+19  (1)

В декартовой системе координат а от х построим ГМТ удовлетворяющих неравенству (1). Эта область заключена между двумя параболами a = -(x-2)²-1 и a = -(x-2)²+19, включая сами параболы.

По условию a-5 ≤ x ≤ a, преобразуем:

$\displaystyle \left \{ {{a-5\le x} \atop {a\ge x}} \right. \quad \left \{ {{a\le x+5} \atop {a\ge x}} \right.\\\\ x\le a\le x+5\quad (2)$

Неравенство (2) задаёт область, которая ограничена двумя параллельными прямыми a=x-5 и a=x, включая границы.

Определим как взаимно расположены эти области.

$\displaystyle \left \{ {{a=x\qquad \qquad \quad } \atop {a=-x^2+4x-5}} \right. \quad \left \{ {{a=x\qquad \qquad \qquad } \atop {-x^2+4x-5-x=0}} \right. \\\\-\left( x-\dfrac32 \right) ^2-2\dfrac34 =0;\quad x\in \varnothing$

Прямая a=x не имеет общих точек с нижней границей графика (1), значит и прямая a=x+5 не имеет с ней общих точек.

$\displaystyle \left \{ {{a=x+5\qquad \qquad } \atop {a=-x^2+4x+15}} \right. \quad \left \{ {{x=a-5\qquad \qquad \qquad \qquad \quad } \atop {a+(a-5)^2-4(a-5)-15=0}} \right. \\\\a^2-13a+30=0;\quad D_1=169-120=7^2\\a=\dfrac{13\pm 7}2 =\{3;10\}$

Прямая a=x+5 пересекает верхнею границу графика (1) в двух различных точках с ординатами 3 и 10. Значит и прямая а=х пересекает эту границу, надём ординаты общих точек.

$\displaystyle \left \{ {{a=x\qquad \qquad \quad } \atop {a=-x^2+4x+15}} \right. \quad \left \{ {{a=x\qquad \qquad \qquad } \atop {a+a^2-4a-15=0}} \right. \\\\a^2-3a-15=0;\quad D_2=9+60=69\\a=\dfrac{3\pm \sqrt{69}}2$

При фиксированном a, все точки (x;a) графика (2) должны находится в области графика (1). По графику видно, что подходят только $3\le a\le \dfrac{3+\sqrt{69}}2$

ответ: $\bold a\in \left[ 3;\dfrac{3+\sqrt{69}}2 \right] .$