Ясно, что если переобозначить в привычное
y = 4 - x^2;
y = x^2 - 2*x;
то площадь не поменяется. :))) Я так дальше и буду обозначать.
Далее, не трудно найти (4 - x^2 = x^2 - 2*x), где параболы пересекаются - при x = -1 и x = 2, причем при x = 2 точка пересечения (2, 0) лежит прямо на оси X (при x = -1; (-1; 3))
Легко сообразить, что надо взять интеграл в промежутке (-1, 2) от разности
(4 - x^2)- (x^2 - 2*x) = 4 + 2*x - 2*x^2;
(кому трудно сообразить, разбейте область на 2 части (-1,0) и (0,2))
Первообразная F(x) = 4*x + x^2 - 2*x^3/3 + C (С - произвольное число), искомая площадь равна F(2) - F(-1) = 20/3 + 7/3 = 9;
пусть n=1 тогда имеем уравнение
2^1+8*1+5=k^2
15=k^2, что не имеет решений
пусть n=2 тогда иммем уравнение
2^2+8*2+5=k^2
25=k^2
откуда k=5 (так как нас интересуют только натуральные решения)
получили пару (2;5)
далее, пусть n>2, n є N, k є N
левая часть при делении на 8 дает остаток 5 (2^n при n>2 дает остаток 0, 8n дает остаток 0 при делении на 8, ну а 5 при делении на 8 дает остаток 5, поєтому сумма 2^n+8n+5 дает остаток 0+0+5=5)
правая часть дает остаток либо 0 (числа вида 8m, 8m+4), 1 (8m+1; 8m+3; 8m+5; 8m+7), 4 (8m+2; 8m+6)
т.е. при n>2 левая и правая части уравнения дают разные остатки, а значит уравнение не имеет решений
ответ: (2;5)
