Question

Решить неопределенный интеграл tg^4xdx

Answer 1

$\displaystyle \frac{1}{3}\text{tg}^3\,x -\text{tg}x + x + C$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int \text{tg}^4x dx = \int \frac{\sin^4x}{\cos^4x}dx = \int \frac{(\sin^2x)^2}{\cos^4x}dx = \int \frac{(1-\cos^2 x)^2}{cos^4x}dx = \\ \\ \\= \int \frac{1 - 2\cos^2x+\cos^4x}{cos^4 x}dx = \int \frac{dx}{\cos^4x}-2\int \frac{dx}{\cos^2x} + \int dx$

Найдём интеграл от каждого слагаемого по отдельности

$1) \displaystyle \int \frac{dx}{\cos^4x} = \int \frac{\cos^2x~ d(\text{tg}\,x)}{\cos^4 x} = \int \frac{d(\text{tg}\, x)}{\cos^2 x} = \int (1+\text{tg}^2x)d(\text{tg}\,x) = \\ \\ \\ = \text{tg}\, x+\frac{1}{3}\text{tg}^3\,x$

$2) \displaystyle -2\int \frac{dx}{\cos^2 x} = -2 \int \frac{\cos^2x~d(\text{tg}\,x)}{\cos^2x} = -2 \int d(\text{tg}\,x) = -2\,\text{tg}x$

$3) \displaystyle \int dx = x$

Сложим все слагаемые и получим ответ:

$\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^4x}-2\int \frac{dx}{\cos^2x} + \int dx = \text{tg}\, x+\frac{1}{3}\text{tg}^3\,x -2\,\text{tg}x + x = \frac{1}{3}\text{tg}^3\,x -\text{tg}x + x + C$