Сначала определим вероятность изготовления одного изделия второго сорта для каждого рабочего.
Первый рабочий изготавливает 40% изделий второго сорта, что означает, что вероятность изготовления одного изделия второго сорта для него равна 0,4 (или 40%).
Аналогично, второй рабочий изготавливает 30% изделий второго сорта, поэтому вероятность изготовления одного изделия второго сорта для него равна 0,3 (или 30%).
а) Чтобы найти вероятность того, что все четыре изделия будут второго сорта, мы умножаем вероятности изготовления второго сорта каждым рабочим.
Вероятность изготовления второго сорта для первого рабочего: 0,4 * 0,4 = 0,16
Вероятность изготовления второго сорта для второго рабочего: 0,3 * 0,3 = 0,09
Теперь перемножим эти вероятности, чтобы найти вероятность того, что все четыре изделия будут второго сорта:
0,16 * 0,09 = 0,0144
Таким образом, вероятность того, что все четыре изделия будут второго сорта, составляет 0,0144 (или 1,44%).
б) Чтобы найти вероятность того, что хотя бы три изделия будут второго сорта, мы должны учесть два случая:
1) три изделия будут второго сорта, а четвертое - первого сорта;
2) все четыре изделия будут второго сорта.
Для первого случая нам нужно найти вероятность изготовления трех изделий второго сорта и одного изделия первого сорта.
Вероятность изготовления трех изделий второго сорта и одного изделия первого сорта для первого рабочего: 0,4 * 0,4 * 0,6 * 0,6 = 0,0864
Вероятность изготовления трех изделий второго сорта и одного изделия первого сорта для второго рабочего: 0,3 * 0,3 * 0,7 * 0,7 = 0,063
Теперь складываем эти вероятности, чтобы найти вероятность первого случая:
0,0864 + 0,063 = 0,1494
Для второго случая нам уже известна вероятность изготовления всех четырех изделий второго сорта, которая равна 0,0144.
Теперь сложим вероятности первого и второго случаев, чтобы найти вероятность хотя бы трех изделий второго сорта:
0,1494 + 0,0144 = 0,1248
Таким образом, вероятность того, что хотя бы три изделия будут второго сорта, составляет 0,1248 (или 12,48%).
в) Чтобы найти вероятность того, что менее трех изделий будут второго сорта, мы должны учесть два случая:
1) ни одно изделие не будет второго сорта;
2) только одно изделие будет второго сорта.
Для первого случая нам нужно найти вероятность изготовления ни одного изделия второго сорта.
Вероятность изготовления ни одного изделия второго сорта для первого рабочего: 0,6 * 0,6 = 0,36
Вероятность изготовления ни одного изделия второго сорта для второго рабочего: 0,7 * 0,7 = 0,49
Теперь перемножим эти вероятности, чтобы найти вероятность первого случая:
0,36 * 0,49 = 0,1764
Для второго случая нам нужно найти вероятность изготовления одного изделия второго сорта и трех изделий первого сорта.
Вероятность изготовления одного изделия второго сорта и трех изделий первого сорта для первого рабочего: 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,6 = 0,0864
Вероятность изготовления одного изделия второго сорта и трех изделий первого сорта для второго рабочего: 0,3 * 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,1029
Теперь сложим вероятности первого и второго случаев, чтобы найти вероятность второго случая:
0,0864 + 0,1029 = 0,1893
Теперь вычтем вероятность второго случая из 1 (так как мы ищем вероятность менее трех изделий второго сорта), чтобы найти вероятность этого случая:
1 - 0,1893 = 0,8107
Таким образом, вероятность того, что менее трех изделий будут второго сорта, составляет 0,8107 (или 81,07%).
В итоге, вероятность для каждого случая равна:
а) 0,0144 (или 1,44%)
б) 0,1248 (или 12,48%)
в) 0,8752 (или 87,52%)
10. Чтобы найти количество слов длины 6 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буква a встречается на один раз больше буквы b, мы можем использовать метод комбинаторики.
Заметим, что в таких словах буква a может встретиться от 2 до 6 раз, а буква b - от 1 до 5 раз.
У нас есть 6 позиций для букв в слове длиной 6. Мы выбираем позиции для букв b и c, а потом размещаем буквы a и d в оставшиеся позиции.
Шаги решения:
1. Выберем 2 позиции для буквы b из 6. Это можно сделать по формуле сочетания: C(6, 2) = 15.
2. Выберем 2 позиции для буквы c из оставшихся свободных позиций. Теперь у нас 4 свободные позиции, поэтому C(4, 2) = 6.
3. Разместим букву a на оставшихся позициях (2 позиции). Т.к. в слове должна быть 1 буква a больше, чем b, мы можем разместить букву a на любой из 2 выбранных позиций. Значит, у нас есть 2 варианта для размещения буквы a.
4. Разместим букву d на оставшейся позиции (1 позиция). У нас нет ограничений для размещения буквы d. Поэтому у нас есть 1 вариант.
Теперь перейдем к результатам:
Количество слов длиной 6, в которых буква a встречается на один раз больше буквы b, равно:
15 * 6 * 2 * 1 = 180.
Таким образом, количество таких слов - 180.
11. Чтобы найти количество слов длины 7 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буквы a и b встречаются одинаковое количество раз, мы также можем использовать метод комбинаторики.
Здесь у нас есть 7 позиций для букв в слове длиной 7 и буквы a и b должны занимать одинаковое количество позиций.
Шаги решения:
1. Выберем 3 позиции для буквы a из 7. Это можно сделать по формуле сочетания: C(7, 3) = 35.
2. Буква b будет занимать оставшиеся позиции, но так как она должна встречаться также, как и a, мы можем выбрать позиции для b на основе выбранных позиций для a. Значит, у нас также есть 35 вариантов.
Теперь перейдем к результатам:
Количество слов длиной 7, в которых буквы a и b встречаются одинаковое количество раз, равно:
35 * 35 = 1225.
Таким образом, количество таких слов - 1225.
12. Чтобы найти количество слов длиной 6 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буква a встречается столько же раз, сколько буквы b и c вместе взятые, мы снова воспользуемся методом комбинаторики.
Здесь у нас также есть 6 позиций для букв в слове длиной 6.
Шаги решения:
1. Выберем 2 позиции из 6 для буквы a. Это можно сделать по формуле сочетания: C(6, 2) = 15.
2. Выберем 2 позиции из оставшихся 4 для букв b и c вместе взятых. Для этого мы разобьем выбор на случаи, когда это будет пара bb, пара bc или пара cc (буквы b и c могут быть в любом порядке).
- Выберем 2 позиции из 4 для пары bb. Это можно сделать по формуле сочетания C(4, 2) = 6.
- Выберем 1 позицию из 4 для пары bc. Здесь у нас есть 2 способа размещения букв b и c: {(b, c), (c, b)}. Поэтому у нас 2 варианта.
- Выберем 2 позиции из 4 для пары cc. Это можно сделать по формуле сочетания C(4, 2) = 6.
Суммируем эти варианты: 6 + 2 + 6 = 14.
Теперь перейдем к результатам:
Количество слов длиной 6, в которых буква a встречается столько же раз, сколько буквы b и c вместе взятые, равно:
15 * 14 = 210.
Таким образом, количество таких слов - 210.
(Остальные задания решаются по принципу, описанному выше.)
