Question

Весь мозг найти остаток от деления на число 3 числа [ (2 в степени 1947) - 23]

Answer 1

$\\2^{1947}=(3-1)^{1947}$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$\\(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)a^{n-k}b^k\\\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $b^k=1$ и знаки слагаемых чередуются (т.к. b= -1).

То есть:

$\\(3-1)^{1947}=3^{1947}-1947\cdot3^{1946}+\ldots+1947\cdot3-1$

Все слагаемые, кроме последнего, делятся на 3. Следовательно, и всё число не делится на 3, остаток от деления равен 2. 23 также при делении на 3 даёт остаток 2. Значит, их разность делится на 3 без остатка.

Число $2^{1947}=(3-1)^{1947}$ при делении на 3 даёт остаток 0.