Пошаговое объяснение:
промежутки убывания и возрастания ищем при производной
y' = 3x²+6x-45
ищем критические точки (точки, где функция меняет знак).
для этого приравниваем производную к нулю
3x²+6x-45 = 0 ⇒ x₁ = 3; x₂ = -5
получили промежутки
(-∞ ;-5); (-5; 3); (3; +∞)
теперь смотрим знак производной на промежутках и делаем вывод о возрастании функции на этих промежутках
(-∞ ;-5)
y'(-10) = 3*(-10)²+6*(-10) -45= > 0 - функция возрастает
(-5; 3)
y'(0) = 3*0+6*0-45 < 0 - функция убывает
(3; +∞)
y'(10) = 3*(10)²+6*10 -45 > 0 - функция возрастает
промежутки возрастания (-∞ ;-5) и (3; +∞)
ответ: функция имеет минимум, равный -3/8, в точке M(1/8; 3/8; -3/8). Максимума функция не имеет.
Пошаговое объяснение:
1. Находим первые и вторые частные производные и после приведения подобных членов получаем:
du/dx=6*x-4*y-2*z, du/dy=-4*x+10*y+6*z-1, du/dz=-2*x+6*y+8*z+1, d²u/dx²=2, d²u/dy²=10, d²u/dz²=8, d²u/dxdy=-4, d²u/dydx=-4, d²u/dxdz=-2, d²u/dzdx=-2, d²u/dydz=6, d²u/dzdy=6.
2. Приравнивая нулю первые частные производные, получаем систему уравнений:
6*x-4*y-2*z=0
-4*x+10*y+6*z=1
-2*x+6*y+8*z=-1
Решая её, находим x=1/8, y=3/8, z=-3/8. Таким образом, найдены координаты единственной стационарной точки M (1/8; 3/8; -3/8).
3. Вычисляем значения вторых частных производных в стационарной точке:
d²u/dx²(M)=a11=6, d²u/dxdy(M)=a12=-4, d²u/dxdz(M)=a13=-2, d²u/dydx(M)=a21=-4, d²u/dy²(M)=a22=10, d²u/dydz(M)=a23=6, d²u/dzdx(M)=a31=-2, d²u/dzdy(M)=a32=6, d²u/dz²(M)=a33=8
4. Составляем матрицу Гессе:
H = a11 a12 a13 = 6 -4 -2
a21 a22 a23 -4 10 6
a31 a32 a33 -2 6 8
5. Составляем и вычисляем угловые миноры матрицы Гессе:
δ1 = a11 = 6, δ2 = a11 a12 = 44, δ3 = a11 a12 a13 = 192
a21 a22 a21 a22 a23
a31 a32 a33
6. Так как δ1>0, δ2>0 и δ3>0, то точка М является точкой минимума, равного u0=u(1/8; 3/8; -3/8)=-3/8.
отрезок будет 10см.
(прямоугольник, горизонтальный стороны 3см,а вертикальные 2см, или наоборот)