заявленный и в приведённом условии. Далее порассуждаем практически:
;
;
;
;
;
;
производная 
больше производной 
, т.е. дальше левая часть уравнения, растёт быстрее, чем правая, а значит, других корней при 
быть не может.
левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, так что других корней при 
быть не может.
, так как при сравнении двух непрерывных функций на этом интервале меняется знак.
где 
то: ![2^x = 2^\frac{p}{q} = (\sqrt[q]2)^p < 2 .](/tpl/images/0486/4079/dd2eb.png)
Это число, очевидно иррационально, что легко доказать от обратного методом Евклида. Однако справа должно быть рациональное число 
а значит, мы пришли к противоречию. Таким образом, второе решение иррационально.
по определению дающая решение, т.е. являющаяся обратной, к функции 
Функция вводится аналогично, скажем, функции 
являющейся решением уравнения 
но в отличие от арктангенса, функция Ламберта используется намного реже в прикладных задачах (в основном в задачах теплопроводности), и поэтому – менее широко известна. Функция вводится на расширенной комплексной плоскости, т.е. алгебраически, а не арифметически, а значит по определению, может быть многозначной, и является таковой при отрицательных значениях аргумента 
хотя нам достаточно будет знать лишь её действительные значения, которых при отрицательных аргументах всегда два. Вид действительных ветвей функции Ламберта представлен на приложенном изображении.
;
;
;
;
тогда:
отсюда через функцию Ламберта:
;
равна:
;
искомое значение и вычисляя 
добиваясь его равенства 
как раз и даст значение 
, что можно легко проверить подстановкой.
;
;
;
;
