Question

Докажите, что (3^n + 1)^n - 2 делится на 3^n - 2

Answer 1

Доказать, что $(3^{n} +1)^{n}-2$ делится на $3^{n} -2$

====

Вспомним формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем $q, q\ \textgreater \ 1$ : $S= \frac{q^{n}-1 }{q-1}$;
Здесь мы взяли первый член равный единице и q∈N; Очевидно, что эта сумма есть целое число, иными словами $q^{n}-1$ делится на $q-1$. Пусть здесь $q=3^{n}-1$. Имеем:$\frac{(3^{n}-1)^{n}-1 }{3^{n}-2 }$ число целое (*). Нам же нужно доказать, что число $\frac{(3^{n}+1)^{n}-2 }{ 3^{n}-2 }$ целое.

Итак, раз число (*) целое, то число $(3^{n} -1)^{n}$ дает остаток 1 от деления на число $3^{n}-2$; Осталось лишь найти остаток от деления на то же число числа $(3^{n} +1)^{n}$. Найдем произведение этих двух чисел: $(3^{n} +1)^{n}(3^{n} -1)^{n} = (3^{2n}-1)^{n}$ Пусть остаток от деления этого числа на число $3^{n}-2$ равен x; Мы знаем, что остаток от деления числа $(3^{2n}-1)^{n}$ на число $3^{2n}-2$ равен 1. А остаток от деления числа $3^{2n}-2$ на число $3^{n}-2$ равен 2. Стало быть, остаток от деления числа $3^{2n}-1$ на число $3^{n}-2$ равен 3.
Отсюда остаток от деления числа $(3^{2n}-1)^{n}$ на число $3^{n}-2$ равен $3^{n}$ ; Но $3^{n} \ \textgreater \ 3^{n} -2$, поэтому остаток равен 2. Мы только что нашли x. x = 2, а остаток от деления на число $3^{n}-2$ числа $(3^{n} -1)^{n}$, как уже говорилось равен 1. Значит искомый остаток от деления на $3^{n}-2$ числа $(3^{n} +1)^{n}$ равен 2. Отсюда и следует, что $(3^{n} +1)^{n}-2$ делится на $3^{n} -2$

Извини, что запутано :)